线性代数相似矩阵与二次型第1节特征值

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1、§5.1特征值与特征向量一.定义第五章相似矩阵与二次型§5.1特征值与特征向量A=n阶方阵非零向量特征值(eigenvalue)特征向量(eigenvector)对应“Eigen”isGermanfor“characteristicof”or“peculiarto”;someauthorscallthesecharacteristicvaluesandvectors.Noauthorscallthem“peculiar”.第五章相似矩阵与二次型§5.1特征值与特征向量A=(E–A

2、)=0

3、E–A

4、=0特征方程(characteristicequation)

5、E–A

6、=–a11–a12…–a1n–a21–a22…–a2n…………–an1–an2…–ann特征多项式(characteristicpolynomial)E–A特征矩阵特征值特征向量定义（特征子空间）二.计算第五章相似矩阵与二次型§5.1特征值与特征向量定理1.(1)0为A的特征值

7、0E–A

8、=0.(2)为A的对应于0特征向量(0E–A)=0.1.理论依据2.步骤计算

9、E–A

10、求

11、E

12、–A

13、=0的根求(E–A)x=0的基础解系例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值为1=2,2=4.解之得A的对应于1=2的特征向量为对于1=2,(2E–A)x=0即3113

14、E–A

15、=–311–3=(–2)(–4).x1+x2=0x1x2=0x1x2=k11(0kR).kk(0kR).第五章相似矩阵与二次型§5.1特征值与特征向量例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值为1=2,2=4.解之得A的对应于2=4的特征向量为对于2=4

16、,(4E–A)x=0即3113

17、E–A

18、=–311–3=(–2)(–4).x1+x2=0x1+x2=0x1x2=k11(0kR).kk(0kR).第五章相似矩阵与二次型§5.1特征值与特征向量解:

19、E–A

20、=(–2)(–1)2.所以A的特征值为1=2,2=3=1.对于1=2,求得(2E–A)x=0的基础解系:p1=(0,0,1)T.对应于1=2的特征向量为kp1(0kR).对于2=3=1,求得(E–A)x=0的基础解系:p2=(–1,–2,1)T

21、.对应于2=3=1的特征向量为kp2(0kR).例2.求的特征值和特征向量.第五章相似矩阵与二次型§5.1特征值与特征向量解:

22、E–A

23、=(+1)(–2)2.所以A的特征值为1=–1,2=3=2.(–E–A)x=0的基础解系:p1=(1,0,1)T.对应于1=–1的特征向量为kp1(0kR).(2E–A)x=0的基础解系:p2=(0,1,–1)T,p3=(1,0,4)T.对应于2=3=2的特征向量为k2p2+k3p3(k2,k3不同时为零).例3.求的特征值和特征向

24、量.第五章相似矩阵与二次型§5.1特征值与特征向量三、特征值与特征向量的性质定理2：理解：可将行列式拆成行列式之和来看！推论：n阶方阵A可逆的充要条件是A的n个特征值全不为零。定理3：推论：例5：定理4：定理5：注：本定理的含义是—A所有不同的特征值对应的线性无关的特征向量合起来还是线性无关的。例.设1,2,…,m为方阵A的m个不同的特征值,p1,p2,…,pm为依次对应于这些特征值的特征向量,证明p1,p2,…,pm线性无关.证明:若k1p1+k2p2+…+kmpm=0,则由此可得(k1p

25、1,k2p2,…,kmpm)=O.(k1p1,k2p2,…,kmpm)=O.因而k1=k2=…=km=0.这就证明了p1,p2,…,pm是线性无关的.例7设1和2是矩阵A的两个不同的特征值对应的特征向量依次为p1和p2证明p1p2不是A的特征向量用反证法假设p1p2是A的特征向量则应存在数使A(p1p2)(p1p2)于是证明按题设有Ap11p1Ap22p2故A(p1p2)1p12p2即(1)p1(2)p20(p1p2)

26、1p12p2因此p1p2不是A的特征向量与题设矛盾即12120故由上式得按定理4知p1p2线性无关因为12例8设3阶矩阵A的特征值为112求

27、A*3A2E

28、因为A的特征值全不为0知A可逆故A*

29、A

30、A1而

31、A

32、1232所以解2A13A2EA*3A2E把上式记作(A)故(A)的特征值为有()2132(1)1(1)3(2