线性代数相似矩阵与二次型第1节特征值.ppt

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1、§5.1特征值与特征向量一.定义第五章相似矩阵与二次型§5.1特征值与特征向量A=n阶方阵非零向量特征值(eigenvalue)特征向量(eigenvector)对应“Eigen”isGermanfor“characteristicof”or“peculiarto”;someauthorscallthesecharacteristicvaluesandvectors.Noauthorscallthem“peculiar”.第五章相似矩阵与二次型§5.1特征值与特征向量A=(E–A)=0

2、E–A

3、=0特征方程(characte

4、risticequation)

5、E–A

6、=–a11–a12…–a1n–a21–a22…–a2n…………–an1–an2…–ann特征多项式(characteristicpolynomial)E–A特征矩阵特征值特征向量定义（特征子空间）二.计算第五章相似矩阵与二次型§5.1特征值与特征向量定理1.(1)0为A的特征值

7、0E–A

8、=0.(2)为A的对应于0特征向量(0E–A)=0.1.理论依据2.步骤计算

9、E–A

10、求

11、E–A

12、=0的根求(E–A)x=0的基础解系例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值为

13、1=2,2=4.解之得A的对应于1=2的特征向量为对于1=2,(2E–A)x=0即3113

14、E–A

15、=–311–3=(–2)(–4).x1+x2=0x1x2=0x1x2=k11(0kR).kk(0kR).第五章相似矩阵与二次型§5.1特征值与特征向量例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值为1=2,2=4.解之得A的对应于2=4的特征向量为对于2=4,(4E–A)x=0即3113

16、E–A

17、=–311–3=(–2)(–4).x1+x2=0x1+x2=0x1x2=k11(0kR).

18、kk(0kR).第五章相似矩阵与二次型§5.1特征值与特征向量解:

19、E–A

20、=(–2)(–1)2.所以A的特征值为1=2,2=3=1.对于1=2,求得(2E–A)x=0的基础解系:p1=(0,0,1)T.对应于1=2的特征向量为kp1(0kR).对于2=3=1,求得(E–A)x=0的基础解系:p2=(–1,–2,1)T.对应于2=3=1的特征向量为kp2(0kR).例2.求的特征值和特征向量.第五章相似矩阵与二次型§5.1特征值与特征向量解:

21、E–A

22、=(+1)(–2)2.所以A的特征值为1=–

23、1,2=3=2.(–E–A)x=0的基础解系:p1=(1,0,1)T.对应于1=–1的特征向量为kp1(0kR).(2E–A)x=0的基础解系:p2=(0,1,–1)T,p3=(1,0,4)T.对应于2=3=2的特征向量为k2p2+k3p3(k2,k3不同时为零).例3.求的特征值和特征向量.第五章相似矩阵与二次型§5.1特征值与特征向量三、特征值与特征向量的性质定理2：理解：可将行列式拆成行列式之和来看！推论：n阶方阵A可逆的充要条件是A的n个特征值全不为零。定理3：推论：例5：定理4：定理5：注：本定理的含义是—A所有不同的特征

24、值对应的线性无关的特征向量合起来还是线性无关的。例.设1,2,…,m为方阵A的m个不同的特征值,p1,p2,…,pm为依次对应于这些特征值的特征向量,证明p1,p2,…,pm线性无关.证明:若k1p1+k2p2+…+kmpm=0,则由此可得(k1p1,k2p2,…,kmpm)=O.(k1p1,k2p2,…,kmpm)=O.因而k1=k2=…=km=0.这就证明了p1,p2,…,pm是线性无关的.例7设1和2是矩阵A的两个不同的特征值对应的特征向量依次为p1和p2证明p1p2不是A的特征向量用反证法假设p1p2是A的特征向量

25、则应存在数使A(p1p2)(p1p2)于是证明按题设有Ap11p1Ap22p2故A(p1p2)1p12p2即(1)p1(2)p20(p1p2)1p12p2因此p1p2不是A的特征向量与题设矛盾即12120故由上式得按定理4知p1p2线性无关因为12例8设3阶矩阵A的特征值为112求

26、A*3A2E

27、因为A的特征值全不为0知A可逆故A*

28、A

29、A1而

30、A

31、1232所以解2A13A2EA*3

32、A2E把上式记作(A)故(A)的特征值为有()2132(1)1(1)3(2