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《正方形的性质与判定－教材习题解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、随堂练习(教材第24页)(1)已知:如图(1)所示,四边形ABCD是菱形,且∠ABC＝90°.求证:四边形ABCD是正方形.证明:连接BD,∵四边形ABCD是菱形,∴BD平分∠ABC,∴∠ABD＝45°,在菱形ABCD中,AB＝AD,∴∠ADB＝∠ABD＝45°,∴∠BAD＝90°,同理,可证∠BCD＝90°,∴菱形ABCD也为矩形,∴四边形ABCD是正方形. (2)已知:如图(2)所示,四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD,垂足为点O.求证:四边形ABCD是正方形.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OD＝OB.又∵AC⊥BD,∴AB＝AD,同理,AB＝BC＝CD,∴矩形A
2、BCD也为菱形,∴四边形ABCD是正方形.习题1.8(教材第25页)1.已知:如图所示,四边形ABCD是菱形,AC,BD相交于点O,且AC＝BD.求证:四边形ABCD是正方形.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴四边形ABCD也是平行四边形,又∵AC＝BD,∴四边形ABCD也为矩形,∴四边形ABCD是正方形.2.证明:连接AC交BD于点O,∵四边形ABCD是正方形,∴OA＝OC,OD＝OB,AC⊥BD,又∵BE＝DF,∴OF＝OE,∴四边形AECF是菱形.3.解:四边形EFGH是正方形.证明如下:在正方形ABCD中,AB＝BC＝CD＝AD,∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°,∵
3、AE＝BF＝CG＝DH,∴BE＝CF＝DG＝AH,∴ΔEAH≌ΔFBE≌ΔGCF≌ΔHDG,∴HE＝EF＝FG＝GH,∠AEH＝∠BFE,∴四边形EFGH是菱形.在RtΔBEF中,∠BFE＋∠FEB＝90°,∴∠AEH＋∠FEB＝90°,∴∠HEF＝90°,∴四边形EFGH是正方形.4.解:重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的.证明如下:重叠部分为等腰直角三角形时,重叠部分的面积为正方形ABCD面积的,即SΔAOB＝SΔBOC＝SΔCOD＝SΔAOD＝S正方形ABCD.重叠部分为四边形时,如图所示,设OA'与AB相交于点E,OC'与BC相交于点F.∵四边形ABCD是正
4、方形,∴OA＝OB,∠EAO＝∠FBO＝45°,AO⊥BD.又∵∠AOE＝90°-∠EOB,∠BOF＝90°-∠EOB,∴∠AOE＝∠BOF,∴ΔAOE≌ΔBOF.∴SΔAOE＋SΔBOE＝SΔBOF＋SΔBOE,∴SΔAOB＝S四边形EBFO.又∵SΔAOB＝S正方形ABCD,∴S四边形EBFO＝S正方形ABCD.复习题(教材第26页)1.解:设该菱形为菱形ABCD,两对角线交于点O,则ΔAOB为直角三角形,直角边长分别为2cm和4cm,则由勾股定理,得AB＝＝2(cm),即菱形的边长为2cm.2.解:四边形ABCD是正方形.理由如下:由OA＝OB＝OC＝OD易证得四
5、边形ABCD是矩形.又∵OA＝OB＝AB,∴OA2＋OB2＝AB2,∴∠AOB＝90°,∴四边形ABCD是正方形.3.解:不一定,还有可能是矩形.4.已知:如图所示,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC＝60cm,周长为200cm.求:(1)BD的长;(2)菱形的面积.解:(1)因为菱形四边相等,对角线互相垂直平分,所以AB＝×200＝50(cm),AC⊥BD且OA＝OC＝AC＝×60＝30(cm),OB＝OD.在RtΔAOB中,OB＝＝40(cm).所以BD＝2OB＝80cm. (2)S菱形ABCD＝AC·BD＝×60×80＝2400(cm2).5.已知:
6、如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,且AC＝BD,E,F,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFPQ为正方形.证明:∵E,Q分别为AB,AD的中点,∴EQ?BD.同理FP?BD,EF?AC.∴EQ?FP.∴四边形EFPQ为平行四边形.∵AC＝BD,∴EF＝EQ.∴▱EFPQ为菱形.∵AC⊥BD,∴EF⊥EQ.∴∠QEF＝90°.∴菱形EFPQ是正方形.6.解:∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥EC,∠DAC＝45°,∴∠DAE＝∠E.∵AC＝CE,∴∠E＝∠CAE.∴∠CAE＝∠DAE,∴∠DAE＝∠DAC＝×45°＝22.5°.7.解
7、:(1)是正方形.因为此菱形的对角线相等,对角线相等的菱形是正方形. (2)是正方形.因为此四边形的对角线互相垂直、平分且相等,所以这个四边形是正方形.8.证明:∵DE∥AF,DF∥AE,∴四边形AEDF是平行四边形.∵AE∥DF,∴∠EAD＝∠ADF.∵AD平分∠BAC,∴∠EAD＝∠DAF,∴∠ADF＝∠DAF,∴AF＝DF,∴四边形AEDF是菱形.9.证明:如图所示,∵BE⊥AC,ME为RtΔBEC的中线,∴ME＝BC.同理,MF＝BC,∴ME＝MF.10.已知四边形ABCD是正方形,对角线AC＝BD＝l.求正方形的周长和面积.解:
