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1、19.2.3 一次函数与方程、不等式一次函数与二元一次方程组第二课时教学目标1、知识和技能 使学生理解二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标,并能通过图象法来求二元一次方程组的解.2、过程和方法 通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探究,引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系,发展学生的辩证思维能力.3、情感态度和价值观 在探究活动中,让学生体会数学知识的融会贯通,发现数学的美,以激发学生学习数学的兴趣和克服困难的信心.教学重难点 【重点】 1.理解一次方程、一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系. 2.掌握用图象求解方程、不等式的方法. 【难点
2、】 根据一次函数的图象求解方程和不等式.教学过程一、新课导入 探究一次函数与方程组的关系 思路一 探究:1号探测气球从海拔5m处出发,以1m/min的速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15m处出发,以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1h. (1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y(单位:m)关于上升时间x(单位:min)的函数关系; (2)在某个时刻两个气球能否位于同一高度?如果能,这时气球上升了多长时间?位于什么高度? 引导学生从实际问题中抽象出具体的数学问题,并应用所学方法求解.帮助学生建立函数模型,得到不同的解决方法,并展示规范解答. 解:(
3、1)两个气球所在位置的海拔高度y(m)与上升时间x(min)的函数关系分别是: 1号气球:y=x+5;2号气球:y=0.5x+15.自变量x的范围是0≤x≤60. 追问:“在某个时刻两个气球位于同一高度”说明它们两个函数关系式中的x和y的值要满足什么关系?如何求出x和y的值? 学生思考后总结. 在某时刻两个气球位于同一高度,就是说对于x的某个值,函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.由此容易想到解二元一次方程组. 解:(2)由题意得解得 当上升20min时,两个气球都位于海拔25m的高度. 追问:在同一直角坐标系中,画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15
4、的图象,观察这两条直线有交点吗?并思考:交点坐标是不是的解?为什么? 学生画图后发现,这两条直线的交点为(20,25),说明当上升20min时,两个气球都位于海拔25m的高度.也就是说交点坐标也就是方程组的解. 教师引导学生归纳总结: (1)一般地,因为每个含有未知数x和y的二元一次方程,都可以改写成y=ax+b的形式,所以每个这样的方程都对应一个一次函数,于是也对应一条直线,这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解.同样,任意一个二元一次方程组都对应着两个一次函数和两条直线,这两条直线的交点坐标是该二元一次方程组的解. (2)从“数”的角度看:解二元
5、一次方程组,相当于求自变量为何值时两个函数的函数值相等,以及这个函数值是多少.从“形”的角度看:解二元一次方程组,相当于确定两条相应直线的交点. [设计意图] 通过活动,从数和形两个角度认识了一次函数与二元一次方程组的关系. 思路二 1.一次函数与二元一次方程的关系. (1)对于方程3x+5y=8如何用x表示y?是不是任意的二元一次方程都能转化成一次函数呢? (2)在平面直角坐标系中画出一次函数y=-x+的图象. (3)在一次函数y=-x+的图象上任取一点(x,y),则x,y一定是方程3x+5y=8的解吗?为什么? 学生独立完成后同桌交流,教师再引导学生归纳总结: 方
6、程3x+5y=8的解点(s,t)在一次函数y=-x+的图象上 2.一次函数与二元一次方程组的关系. 观察在同一直角坐标系中的y=2x-1与y=-x+的图象,两条直线的交点坐标是 . 方程组的解是 . 小组讨论,完成填空后,进行验证. 教师说明:(1)任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合;(2)求方程组的解就是求两个函数值相等时,自变量的值和函数值;(3)根据方程组的解的意义和函数的观点,就是当x取什么数值时,两个一次函数的y值相等?它反映在图象上,就是求直线y=2x-1与直线y=-x+的交点坐标. 教师引导归纳: [设计意图] 通过问题解决,由
7、特殊过渡到一般,从数和形两个角度认识了一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系. 4.例题讲解 (补充)某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元. (1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润; (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍.设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元. ①求y关于x的函数关系式; ②该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大? (3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调m(0
