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1、矩阵与变换淮安市楚州中学陈军2.1.1矩阵的概念1.矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵;2.矩阵的表示；3.相等的矩阵;2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法1.二阶矩阵与平面向量的乘法规则;2.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射;3.待定系数法是由原象和象确定矩阵的常用方法.2.1二阶矩阵与平面向量的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写黑体的拉丁字母A、B、C…表示，或者用(aij)表示，其中i,j分别表示元素aij所在的行与列.同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的列.组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的
2、元素。2.2.1恒等变换2.2.2伸压变换2.2.3反射变换2.2.4旋转变换2.2.5投影变换2.2.6切变变换2.2几种常见的平面变换恒等变换矩阵(单位矩阵):恒等变换:对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵对应的变换,都把自己变成自己。这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵(单位矩阵).恒等变换矩阵实施的对应变换称为恒等变换。二阶单位矩阵一般记为E垂直伸压变换矩阵：伸压变换：将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,或作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵,通常称做沿y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵.伸压变换矩阵对应的变换称为垂直伸压变换,简称伸压变换.一般地，称形如M1,M2,M3,M4,M5这样的矩阵为
3、反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换，其中（2）叫做中心反射，其余叫轴反射.其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点.M(l1a+l2b)=l1Ma+l2Mb上式表明，在矩阵M的作用下，直线l1a+l2b变成直线l1Ma+l2Mb.这种把直线变成直线的变换，通常叫做线性变换。反之，平面上的线性变换可以用矩阵来表示，但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的性变换。(即形如的几何变换叫做线性变换)旋转变换矩阵通常叫做旋转变换矩阵.对应的变换称做旋转变换.其中的角q做旋转角.点O叫做旋转中心.旋转变换只改变几何图形的位置，不会改变几何图形的形状.图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.(1)投影变换的几何要素
4、:投影方向,投影到的某条直线L.(2)投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素(3)与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点(4)投影变换是映射,但不是一一映射像这类将平面内图形投影到某条直线相应的变换称做投影变换.(或某个点)上的矩阵,我们称之为投影变换矩阵,投影变换平移
5、ky
6、个单位:当ky>0时，沿x轴正方向移动；当ky<0时，沿x轴负方向移动；当ky=0时，原地不动.在此变换作用下，图形在x轴上的点是不动点。切变变换矩阵把平面上的点P(x,y)沿x轴方向像由矩阵确定的变换通常叫做切变变换,对应的矩阵叫做切变变换矩阵。2.3.1矩阵乘法的概念2.3.2矩阵乘法的的简单性质2.3变换的
7、复合与矩阵的乘法规定：矩阵乘法的法则是:建构数学矩阵的乘法的几何意义：矩阵乘法MN的几何意义为：对向量连续实施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.建构数学当连续对向量实施n(n∈N*)次变换TM时，记作：Mn=M·M·····Mn个M在数学中，一一对应的平面几何变换都可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、旋转、切变等变换通常叫做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵。2.4.1逆矩阵的概念2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组2.4逆变换与逆矩阵对于二矩阵A,B若有AB=BA=E则称A是可逆的,B称为A的逆矩阵.通常记A的逆矩阵为A-1若二阶矩阵A存在逆矩
8、阵B,则逆矩阵是唯一的.建构数学逆矩阵的唯一性：思考：A的逆矩阵有多少个？若二阶矩阵A,B均存在逆矩阵,则AB也存在逆矩阵,且(AB)-1=B-1A-1建构数学对于二阶矩阵什么条件下可以满足消去律?已知A,B,C为二阶矩阵,且AB=AC,若矩阵A存在逆矩阵,则B=C建构数学用逆矩阵的知识理解二元一次方程组的求解过程。设矩阵A＝，如果对于实数l，存在一个非零向量a，使得Aa=la，则称l是矩阵A的一个特征值。a是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量。从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上。这时，特征向量或者方向不变(l>0)，或者方向相反(l<0).特别地，当l
9、=0时，特征向量被变换成了0向量.2.5特征值与特征向量建构数学设矩阵A＝，l∈R，我们把行列式称为A的特征多项式。分析表明，如果l是矩阵A的特征值，则f(l)=0此时，将l代入方程组(*)，得到一组非零解即为矩阵A的属于l的一个特征向量.如果a是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量，则对任意的非零常数t，ta也是矩阵A的属于特征值l的特征向量。【定理1】属于矩阵的同一个特征值的特征向量共线.属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。【定
