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时间:2018-07-08
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1、14.2矩阵与变换解答题1.在平面直角坐标系xOy中,设椭圆4x2+y2=1在矩阵A=对应的变换下得到曲线F,求F的方程.解析设P(x,y)是椭圆4x2+y2=1上的任意一点,点P(x,y)在矩阵A对应的变换下变为点P′(x′,y′),则有=,即所以.又因为点P(x,y)在椭圆4x2+y2=1上,所以4()2+y′2=1,即x′2+y′2=1.故曲线F的方程为x2+y2=1.【点评】 线性变换是基本变换,解这类问题关键是由=A得到点P′(x′,y′)与点P(x,y)的坐标关系.2.已知在一个二阶矩阵M对应变换的作用下,点A(1,2)变成
2、了点A′(7,10),点B(2,0)变成了点B′(2,4),求矩阵M.解析 设M=,则=,=,即解得所以M=.3.求圆C:x2+y2=4在矩阵A=的变换作用下的曲线方程.解析 设P′(x′,y′)是圆C:x2+y2=4上的任一点,设P(x,y)是P′(x′,y′)在矩阵A=对应变换作用下新曲线上的对应点,则==,即所以将代入x2+y2=4,得+y2=4,故方程为+=1.4.在平面直角坐标系xOy中,直线l:x+y+2=0在矩阵M=对应的变换作用下得到直线m:x-y-4=0,求实数a,b的值.解析 在直线l:x+y+2=0上取两点A(-2
3、,0),B(0,-2).A、B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A′、B′.因为=,所以点A′的坐标为(-2,-2b);=,所以点B′的坐标为(-2a,-8).由题意,点A′、B′在直线m:x-y-4=0上,所以解得a=2,b=3.5.求曲线C:xy=1在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线C1的方程.解析 设P(x0,y0)为曲线C:xy=1上的任意一点,它在矩阵M=对应的变换作用下得到点Q(x,y)由=,得解得因为P(x0,y0)在曲线C:xy=1上,所以x0y0=1.所以×=1,即x2-y2=4.所以所求曲线C1的方程为x2-y2
4、=4.6.已知矩阵,若矩阵属于特征值6的一个特征向量为,属于特征值1的一个特征向量为.求矩阵的逆矩阵.解析由矩阵属于特征值6的一个特征向量为,可得=6,即;由矩阵属于特征值1的一个特征向量为可得,=,即,解得即=,逆矩阵是.7.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,0),B(-2,0),C(-2,1),设k为非零实数,M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1、B1、C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍,求k的值.解析 由题设得MN==.由=,=,,可知A1(0,0),B1(0,-2),C1(k,-2)
5、.计算得△ABC的面积是1,△A1B1C1的面积是
6、k
7、,则由题设知
8、k
9、=2×1=2.所以k的值为-2或2.8.已知矩阵M=,N=.在平面直角坐标系中,设直线2x-y+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线F,求曲线F的方程.解析 由题设得MN==,设(x,y)是直线2x-y+1=0上任意一点,点(x,y)在矩阵MN对应的变换作用下变为(x′,y′),则有=,即=,所以因为点(x,y)在直线2x-y+1=0上,从而2x′-(-y′)+1=0,即2x′+y′+1=0,所以曲线F的方程为2x+y+1=0.
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