课时13 矩阵与变换复习

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1、课时13《矩阵与变换》复习【学习目标】通过对本章知识进行归纳和梳理，掌握图形变换和矩阵运算，并能运用矩阵解决实际问题．【知识梳理】1．二阶矩阵与平面向量：（1）矩阵的概念与表示：矩阵的行、列、元素；零矩阵、单位矩阵；行矩阵、列矩阵．（2）二阶矩阵与平面列向量的乘法：＝．（3）二阶矩阵M＝确定的变换TM为：→＝＝．2．几种常见的平面变换：变换恒等变换伸压变换反射变换旋转变换投影变换切变变换变换矩阵3．变换的复合与矩阵的乘法：（1）矩阵的乘法：＝．（2）矩阵乘法MN的几何意义：（3）矩阵乘法的的简单性质：4．逆变换与逆矩阵：（1）

2、逆矩阵的概念：对于二阶矩阵A，B，若有，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，A的逆矩阵记为．（2）逆矩阵的几何意义：（3）二阶可逆矩阵A＝的逆矩阵公式：．（4）若二阶矩阵A，B可逆，则(AB)－1＝．5．特征值与特征向量：（1）概念：设A为二阶矩阵，若对于实数λ，存在一个非零向量α，使得，则称λ是A的一个特征值，α是A的属于特征值λ的一个特征向量．（2）特征多项式：f(λ)＝．（3）特征值与特征向量的求解步骤：4【典型例题】例1．已知变换T把点(2，1)，(－3，2)分别变换成点(7，0)，(0，－7)，（1）求变换T对应的矩阵

3、M；（2）求直线l：x＋5y－7＝0在变换T下所得的曲线方程．例2．在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，0），B（1，1），C（0，2），M＝，N＝求△ABC在矩阵MN作用下变换所得图形的面积．例3．已知矩阵A＝，定义其转置矩阵如下：A′＝．（1）若A＝，写出A的转置矩阵A′，并求行列式

4、A

5、和

6、A′

7、，两者有何关系？（2）若A＝表示的方程组为，试求解A′＝表示的方程组．例4．已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为．（1）求矩阵A及其逆矩阵；（2）若向量α＝，试计算An

8、α．4【反馈练习】1．下列说法中正确的是．①反射变换，伸压变换，切变变换都是初等变换；②任何矩阵都有逆矩阵；③若M，N互为逆矩阵，则MN＝E；④反射变换矩阵都是自己的逆矩阵．2．已知A＝，B＝，若A=B，则xy＝．3．将平面内的图形绕原点逆时针旋转的变换矩阵记为M，曲线C：在M确定的变换TM作用下变为了曲线，则的方程为．4．若，则M=；若，则M=．5．（教材83页复习题4）6．（教材83页复习题6）7．（教材83页复习题7）8．已知矩阵，，试求曲线C：y＝sinx在矩阵MN变换下所得曲线的解析式．49．已知矩阵M＝，N＝及向量

9、1＝，2＝．（1）证明M和N互为逆矩阵；（2）证明1和2同时是M和N的特征向量．10．矩阵A＝有特征向量α1＝，α2＝．（1）求出α1，α2对应的特征值；（2）对向量α＝，计算Anα．11．（教材84页复习题13）12．（教材84页复习题14）4