数列经典题目汇总

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1、14.(全国卷II)已知是各项为不同的正数的等差数列，、、成等差数列．又，．(Ⅰ)证明为等比数列；(Ⅱ)如果无穷等比数列各项的和，求数列的首项和公差．(注：无穷数列各项的和即当时数列前项和的极限)解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意，由得即，得因当=0时，{an}为正的常数列就有当=时，,就有于是数列{}是公比为1或的等比数列（Ⅱ）如果无穷等比数列的公比=1，则当→∞时其前项和的极限不存在。因而=≠0，这时公比=，这样的前项和为则S=由，得公差=3，首项==315.(全国卷III)在等差数列中，公差的等差中项.已知数列成等比数列，求数列的通项解：由题意得：

2、……………1分即…………3分又…………4分又成等比数列,∴该数列的公比为，………6分所以………8分又……………………………………10分所以数列的通项为……………………………12分16.（山东卷）已知数列的首项前项和为，且（I）证明数列是等比数列；（II）令，求函数在点处的导数并比较与的大小.解：由已知可得两式相减得即从而当时所以又所以从而故总有，又从而即数列是等比数列；（II）由（I）知因为所以从而==-=由上-==12①当时，①式=0所以；当时，①式=-12所以当时，又所以即①从而18.（天津卷）已知.（Ⅰ）当时，求数列的前n项和；（Ⅱ）求.（18）解：（Ⅰ）

3、当时，．这时数列的前项和．　　　①①式两边同乘以，得　　　　②　①式减去②式，得　　若，，若，（Ⅱ）由（Ⅰ），当时，，则．当时，此时，．若，．若，．19.（天津卷）若公比为c的等比数列｛｝的首项＝1且满足：（＝3，4，…）。（I）求c的值。（II）求数列｛｝的前项和。20.（浙江卷）已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，了＋1，c＋4成等比数列，求a，b，c．解：由题意，得由(1)(2)两式，解得将代入(3),整理得解得或故,或经验算，上述两组数符合题意。21（浙江卷）设点(，0)，和抛物线：y＝x2＋anx＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－，由以下方法

4、得到：x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x2＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点在抛物线：y＝x2＋anx＋bn上，点(，0)到的距离是到上点的最短距离．(Ⅰ)求x2及C1的方程．(Ⅱ)证明{}是等差数列．解：（I）由题意，得。设点是上任意一点，则令则由题意，得即又在上，解得故方程为(II)设点是上任意一点，则令，则.由题意得g，即又即（*）下面用数学归纳法证明①当n=1时，等式成立。②假设当n=k时，等式成立，即则当时，由（*）知又即当时，等式成立。由①②知，等式对成立。是等差数列。22.(重庆卷)数列

5、{an}满足a1=1且8an+1-16an+1+2an+5=0(n³1)。记(n³1)。(1)求b1、b2、b3、b4的值；(2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。解法一：（I）（II）因，故猜想因，（否则将代入递推公式会导致矛盾）。∵故的等比数列.,解法二：（Ⅰ）由整理得（Ⅱ）由所以故由得故解法三：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）从而故23.(重庆卷)数列{an}满足.（Ⅰ）用数学归纳法证明：；（Ⅱ）已知不等式，其中无理数e=2.71828….（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，，不等式成立.（2）假设当时不等式成立，即那么.这就是说，当时不等式成立.根

6、据（1）、（2）可知：成立.（Ⅱ）由递推公式及（Ⅰ）的结论有两边取对数并利用已知不等式得故上式从1到求和可得即24.（江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.解：方法一：先考虑偶数项有：………同理考虑奇数项有：………综合可得方法二：因为两边同乘以，可得：令所以………又∴∴25.（江西卷）已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.解：（1）方法一用数学归纳法证明：1°当n=1时，∴，命题正确.2°假设n=k时有则而又∴时命题正确.由1°、2°知，对一切n∈N时有方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，∴；2°假设

7、n=k时有成立，令，在[0，2]上单调递增，所以由假设有：即也即当n=k+1时成立，所以对一切（2）下面来求数列的通项：所以,又bn=－1，所以