高中数列经典例题汇总

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1、数列典型例题选讲1．已知数列为正项等比数列,(1)求的通项公式;(2)设的前n项和为,求【解析】2．设数列的前项和为已知(I)设,证明数列是等比数列(II)求数列的通项公式．【解析】(I)由及,有由,...①则当时,有.....②②-①得又,是首项,公比为2的等比数列.(II)由(I)可得,数列是首项为,公差为的等比数列.,3．已知等比数列中,.(Ⅰ)若为等差数列,且满足,求数列的通项公式;(Ⅱ)若数列满足,求数列的前项和.【解析】(Ⅰ)在等比数列中,.所以,由得,即,因此,在等差数列中,根据题意,可得,所以,(Ⅱ

2、)若数列满足,则,第49页共49页因此有4．设数列的前项和为,满足(,,t为常数),且.(Ⅰ)当时,求和;(Ⅱ)若是等比数列,求t的值;(Ⅲ)求.【解析】解法一(Ⅰ)当时,,当时,,两式相减得(*)时,,得因为,得,故(*)因为,所以,(Ⅱ)由(*)可知(),若是等比数列,则成等比数列即因为,所以即,所以或.经检验,符合题意(Ⅲ)由(*)可知()当时,,此时,当时,,此时,所以解法二(Ⅰ)因为及,得所以且,解得同理,解得(Ⅱ)当时,,得,两式相减得(**)即当t=0时,,显然是等比数列当时,令,可得因为是等比数列,

3、所以为等比数列,当时,恒成立,即恒成立,化简得恒成立,第49页共49页即,解得,综合上述,或(Ⅲ)当时,由(**)得数列是以1为首项,1为公差的等差数列,所以当时,由(**)得,设(k为常数)整理得,显然所以,即数列是以为首项,为公比的等比数列所以,即所以所以5．已知数列的前n项和为,且满足,(I)求的值;(II)求证数列是等比数列;(III)若,求数列的前n项和.【解析】(I)因为,令,解得再分别令,解得(II)因为,所以,两个代数式相减得到所以,又因为,所以构成首项为2,公比为2的等比数列(III)因为构成首项

4、为2,公比为2的等比数列,所以,所以因为,所以所以令第49页共49页因此所以6．已知成等差数列.又数列此数列的前n项的和Sn()对所有大于1的正整数n都有.(1)求数列的第n+1项;(2)若的等比中项,且Tn为{bn}的前n项和,求Tn.【解析】(1)成等差数列,∴∴∵,∴∴{}是以为公差的等差数列.∵,∴∴(2)∵数列的等比中项,∴∴7．设数列的前项和为,且;数列为等差数列,且｡(1)求数列的通项公式;(2)若为数列的前项和,求证｡【解析】(1)由第49页共49页(2)数列为等差数列,公差从而从而8．在数列中,(

5、1)设,求数列的通项公式(2)求数列的前项和【解析】(I)由已知有利用累差迭加即可求出数列的通项公式()(II)由(I)知,=而,又是一个典型的错位相减法模型,易得=9．,是方程的两根,数列是公差为正的等差数列,数列的前项和为,且(1)求数列,的通项公式;(2)记=,求数列的前项和.【解析】(1)由.且得,第49页共49页在中,令得当时,T=,两式相减得,(2),,,=2=,10．已知数列的前项和为,且是与2的等差中项,数列中,,点在直线上｡(Ⅰ)求和的值;(Ⅱ)求数列,的通项和;(Ⅲ)设,求数列的前n项和｡【解析

6、】(1)∵是与2的等差中项,∴｡∴解得,解得(2)又又即数列是等比数列又点在直线上,,即数列是等差数列,又(3)第49页共49页｡因此由错位相减法得,∴｡11．已知在等差数列中,前7项和等于35,数列中,点在直线上,其中是数列的前项和｡(1)求数列的通项公式;(2)求证数列是等比数列;(3)设为数列的前项和,求并证明;｡【解析】(1)设数列的公差为d,则由题意知得∴(2)∵点在直线上∴----①,-----②①-②得,∴,又当时,∴∴数列是以为首项,为公比的等比数列｡(3)由(2)知,,∴-----------③-

7、-----④③—④得,∴===第49页共49页由③知的最小值是∴12．设数列的前项和为,且满足.(Ⅰ)求证数列为等比数列;(Ⅱ)求通项公式;(Ⅲ)设,求证.【解析】证明(Ⅰ),.又,是首项为,公比为的等比数列且.(Ⅱ)时,,时,.故.(Ⅲ).【命题意图】数列既是高中数学的重点,也是难点.掌握好等差、等比数列的通项公式和前项和公式,能用概念判断是否为等差、等比数列.常见考点与的关系(注意讨论);;递推——猜想——数学归纳法证明;迭加;迭乘;裂项求和;错位相减等;数列不等式证明中注意放缩法的运用.13．已知等差数列{a

8、n}的首项0,且第一项、第三项、第十一项分别是等比数列{bn}的第一项、第二项、第三项｡(I)求数列{an}和{bn}的通项公式;(II)设数列{cn}对任意的,求数列{cn}的前n项和｡【解析】(I)由已知数列{an}的通项公式;数列{bn}的通项公式(II)由)又第49页共49页所以数列的前n项和14．设数列的首项,前项和为,且点在直线(为与无关的正实数