数列经典例题剖析

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1、二、经典例题剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质例题1.（山东省滨州市2007年高三第三次复习质量检测）已知等比数列分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，求数列解析：（I）依题意（II）点评：本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查了转化的思想。例题2.（2007年湖南省长郡中学第二次月考）设数列的前n项和为Sn，若是首项为1，各项均为正数且公比为q的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）试比较的大小，并证明你的结论.解析：（Ⅰ）∵是各项均为正数的等

2、比数列.∴.当n=1时，a1=1，当∴。（Ⅱ）当n=1时，∴∴当∵①当q=1时，②当③当综上可知：当n=1时，当若若点评：本题考查了等比数列的基本知识，还要注意分类讨论。考点二：求数列的通项与求和例题3.（2007年5月湖北省十一校）.已知数列中各项为：个个12、1122、111222、……、……（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.（2）求这个数列前n项之和Sn.解析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。答案：（1）个记：A=,则A=为整数=A(A+

3、1)，得证(2)点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成”两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。例题4.(云南省2007年第一次高中毕业生复习统一检测)已知是数列{}的前n项和，并且=1，对任意正整数n，；设）.（I）证明数列是等比数列，并求的通项公式；（II）设的前n项和，求.解析：（I）两式相减：是以2为公比的等比数列，（II）而点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列的通项，第二问求和用到裂项的办法求和。考点三：数列与不等式的联系例题

4、5.（2007年5月莆田四中）已知为锐角，且，函数，数列{an}的首项.⑴求函数的表达式；⑵求证：；⑶求证：解析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。答案：解：⑴又∵为锐角∴∴⑵∵∴都大于0∴∴⑶∴∴∵,,又∵∴∴∴点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式所给的式子更具有一般性。例题6.（东城区2007年检测）已知数列满足且（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）求；（Ⅲ）若，

5、试比较的大小，并说明理由.解析：（I）当时上式也成立，（Ⅱ）①②①—②，得（Ⅲ）由（Ⅱ）可得又当当当综上所述，当点评：比较大小的常见的办法是做差，但关键在于和零比较，要注意在不同的条件下有不同的结果，也就是要根据分类讨论。例题7.（2007年5月2007浙江省五校）已知函数,数列满足,;数列满足,.求证:（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）若则当n≥2时,.解析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。答案：解:(Ⅰ)先用数学归纳法证明,.（1）当

6、n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0g(0)=0.因为,所以,即>0,从而(Ⅲ)因为,所以,,所以————①,由(Ⅱ)知:,所以=,因为,n

7、≥2,所以<<=————②.由①②两式可知:.点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。考点四：数列与函数、向量、概率等的联系例题8.（四川省南充高级中学2008届十月份月考）无穷数列的前n项和，并且≠．　（1）求p的值；（2）求的通项公式；（3）作函数，如果，证明：．解析：（1）∵　　　∴　，且p＝1，或．　　若是，且p＝1，则由．　　∴　，矛盾．故不可能是：，且p＝1．由，得．　　又，∴　．　　（2）∵　，，　∴　．　　．当k≥2时，．　　∴　n≥3

8、时有．　　∴　对一切有：．　　（3）∵　，　　∴　．　．　　故．　　∴　．　　又．　　∴　．　　故　．点评：本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。例题9.（重庆市渝西中学2008届高中三年级第一次模拟考试）已知定义域为R的二次函数的最小值为0且有，直线被的图象截得的弦长为，数列满足，（1）求函数的表达式；（2）求证；（3）设，求数列的最值及相应的。解析：第（2）问实际上是求数列的通项；第（2）问利用二次函数中求最值的方式来解决。答案：解：（1）设，则两图象交点为∵∴（2）∵∴∵∴，故∴，