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《高中必修5经典数列经典例题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数列经典综合题等差数列与等比数列综合题例1等比数列{}的前n项和为，已知,,成等差数列（1）求{}的公比q；（2）求－＝3，求解：（Ⅰ）依题意有由于，故又，从而（Ⅱ）由已知可得故从而例2在正项数列中,令.（Ⅰ）若是首项为25,公差为2的等差数列,求；（Ⅱ）若（为正常数）对正整数恒成立,求证为等差数列；（Ⅰ）解：由题意得,,所以=（Ⅱ）证:令,,则=1所以=（1）,=（2）,（2）—（1）,得—=,化简得（3）（4）,（4）—（3）得在（3）中令,得,从而为等差数列例3已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.（1）求q的值；（2）设数列的前项和为，试判断是否成等差数列？
2、说明理由.解：（1）依题意，得2am+2=am+1+am∴2a1qm+1=a1qm+a1qm–1在等比数列{an}中，a1≠0，q≠0，∴2q2=q+1，解得q=1或.（2）若q=1，Sm+Sm+1=ma1+(m+1)a1=(2m+1)a1，Sm+2=(m+2)a1∵a1≠0，∴2Sm+2≠Sm+Sm+1若q=，Sm+1=Sm+Sm+1==∴2Sm+2=Sm+Sm+1故当q=1时，Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列；当q=时，Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.例4已知数列｛an｝的首项（a是常数），（）．（Ⅰ）是否可能是等差数列.若可能，求出的通项公式；若不可能，说明
3、理由；（Ⅱ）设，（），为数列的前n项和，且 是等比数列，求实数a、b满足的条件．解：（Ⅰ）∵∴ 若是等差数列，则 但由，得a=0,矛盾. ∴不可能是等差数列(Ⅱ)∵∴(n≥2) ∴当a≠－1时,从第2项起是以2为公比的等比数列∴n≥2时,∴是等比数列,∴(n≥2)是常数∵a≠-1时,∴b-2a-2=0当a=-1时，（n≥3）,得（n≥2）∴∵是等比数列∴b≠0综上,是等比数列,实数a、b所满足的条件为例5设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n=1，2，3，….(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=
4、bn+an，求数列{bn}的通项公式；(Ⅲ)设cn=n(3-bn)，求数列{cn}的前n项和Tn.解：(Ⅰ)∵n=1时，a1+S1=a1+a1=2∴a1=1∵Sn=2-an即an+Sn=2∴an+1+Sn+1=2两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0即an+1-an+an+1=0故有2an+1=an∵an≠0∴(n∈N*)所以，数列{an}为首项a1=1，公比为的等比数列.an=(n∈N*)(Ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1，2，3，…)∴bn+1-bn=()n-1得b2-b1=1b3-b2=b4-b3=()2……bn-bn-1=()n-2(n=2，3，…)将这n
5、-1个等式相加，得bn-b1=1+又∵b1=1，∴bn=3-2()n-1(n=1，2，3，…)(Ⅲ)∵cn=n(3-bn)=2n()n-1∴Tn=2[()0+2()+3()2+…+(n-1)()n-2+n()n-1]①而Tn=2[()+2()2+3()3+…+(n-1)]②①-②得：Tn==8-(8+4n)(n=1，2，3，…)例6已知数列中，，且对时有．（Ⅰ）设数列满足，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前n项和（Ⅰ）证明：由条件，得，则．即，所以，．所以是首项为2，公比为2的等比数列．，所以．两边同除以，可得．于是为以首项，－为公差的等差数列．
6、所以．（Ⅱ），令，则．而．∴．，∴．令Tn＝，①则2Tn＝．②①－②，得Tn＝，Tn＝．∴．例7设数列满足且（Ⅰ）求的值，使得数列为等比数列；（Ⅱ）求数列和的通项公式；（Ⅲ）令数列和的前项和分别为和，求极限的值．（Ⅰ）令，其中为常数，若为等比数列，则存在使得．又．所以．由此得由及已知递推式可求得，把它们代入上式后得方程组消去解得．下面验证当时，数列为等比数列．，，从而是公比为的等比数列．同理可知是公比为的等比数列，于是为所求．（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果得，，解得，．（Ⅲ）令数列的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前项和为；令数列的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前项和
7、为．由第（Ⅱ）问得，．．由于数列的公比，则．，由于，则，于是，所以例8数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列的前项和为，且，求证:对任意实数（是常数，＝2.71828）和任意正整数，总有2；(Ⅲ)正数数列中，.求数列中的最大项.（Ⅰ）解：由已知：对于，总有①成立∴（n≥2）②①--②得∴∵均为正数，∴（n≥2）∴数列是公差为1的等差数列又n=1时，，解得=1∴.()（Ⅱ）证明：∵对任意实数和任意正整数n，总有≤.∴(Ⅲ)解：由已知，易得 猜想n≥2时，是递减数列.令∵当∴
