数列经典题目集锦--答案.doc

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1、数列经典题目集锦一一、构造法证明等差、等比类型一：按已有目标构造1、数列{an}，{bn}，{cn}满足：bn＝an－2an＋1，cn＝an＋1＋2an＋2－2，n∈N*.(1)若数列{an}是等差数列，求证：数列{bn}是等差数列；(2)若数列{bn}，{cn}都是等差数列，求证：数列{an}从第二项起为等差数列；(3)若数列{bn}是等差数列，试判断当b1＋a3＝0时，数列{an}是否成等差数列？证明你的结论．类型二：整体构造2、设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，且(Sn＋1＋λ)an＝(Sn＋

2、1)an＋1对一切n∈N*都成立．(1)若λ＝1，求数列{an}的通项公式；(2)求λ的值，使数列{an}是等差数列．二、两次作差法证明等差数列3、设数列的前n项和为，已知，且，（其中A,B为常数）．(1)求A与B的值；(2)求数列为通项公式；三、数列的单调性4.已知常数，设各项均为正数的数列的前项和为,满足：，（）．（1）若，求数列的通项公式；（2）若对一切恒成立，求实数的取值范围．5.设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，.（1）求数列的通项公式；（2）对于正整数（），求证：“且”是“这三项经适当排序后能构成等

3、差数列”成立的充要条件；（3）设数列满足：对任意的正整数，都有，且集合中有且仅有3个元素，求的取值范围.8四、隔项（分段）数列问题6.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(1)是否存在实数λ，使数列{a2n－λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(2)若Sn是数列{an}的前n项的和，求满足Sn＞0的所有正整数n.7.若满足：对于，都有(为常数)，则称数列是公差为的“隔项等差”数列．（Ⅰ）若，是公差为8的“隔项等差”数列，求的前项之和；（Ⅱ）设数列满足：，对于，都有．①求证：数列为“隔项等差”数列，并

4、求其通项公式；②设数列的前项和为，试研究：是否存在实数，使得成等比数列（）?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．五、数阵问题8.已知等差数列{an}、等比数列{bn}满足a1＋a2＝a3，b1b2＝b3，且a3，a2＋b1，a1＋b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；(2)按如下方法从数列{an}和数列{bn}中取项：第1次从数列{an}中取a1，第2次从数列{bn}中取b1，b2，第3次从数列{an}中取a2，a3，a4，第4次从数列{bn}中取b3，b4，b5，b

5、6，……第2n－1次从数列{an}中继续依次取2n－1个项，第2n次从数列{bn}中继续依次取2n个项，……由此构造数列{cn}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{cn}的前n项和为Sn.求满足Sn<22014的最大正整数n.8数列经典题目集锦答案1.证明：(1)设数列{an}的公差为d，∵bn＝an－2an＋1，∴bn＋1－bn＝(an＋1－2an＋2)－(an－2an＋1)＝(an＋1－an)－2(an＋2－an

6、＋1)＝d－2d＝－d，∴数列{bn}是公差为－d的等差数列．(4分)(2)当n≥2时，cn－1＝an＋2an＋1－2，∵bn＝an－2an＋1，∴an＝＋1，∴an＋1＝＋1，∴an＋1－an＝－＝＋.∵数列{bn}，{cn}都是等差数列，∴＋为常数，∴数列{an}从第二项起为等差数列．(10分)(3)结论：数列{an}成等差数列．证明如下：(证法1)设数列{bn}的公差为d′，∵bn＝an－2an＋1，∴2nbn＝2nan－2n＋1an＋1，∴2n－1bn－1＝2n－1an－1－2nan，…，2b1＝2a1－22a2，∴

7、2nbn＋2n－1bn－1＋…＋2b1＝2a1－2n＋1an＋1，设Tn＝2b1＋22b2＋…＋2n－1bn－1＋2nbn，∴2Tn＝22b1＋…＋2nbn－1＋2n＋1bn，两式相减得：－Tn＝2b1＋(22＋…＋2n－1＋2n)d′－2n＋1bn，即Tn＝－2b1－4(2n－1－1)d′＋2n＋1bn，∴－2b1－4(2n－1－1)d′＋2n＋1bn＝2a1－2n＋1an＋1，∴2n＋1an＋1＝2a1＋2b1＋4(2n－1－1)d′－2n＋1bn＝2a1＋2b1－4d′－2n＋1(bn－d′)，∴an＋1＝－(bn－d

8、′)．(12分)令n＝2，得a3＝－(b2－d′)＝－b1，∵b1＋a3＝0，∴＝b1＋a3＝0，∴2a1＋2b1－4d′＝0，∴an＋1＝－(bn－d′)，∴an＋2－an＋1＝－(bn＋1－d′)＋(bn－d′)＝－d′，∴数列{an}(n≥2)是公差为－d′的等差数列．(14分)∵b