2.4二次函数在几何方面的应用.4二次函数的应用

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1、2.4二次函数在几何方面的应用[教学目标]1.通过对生活中实际问题的研究，体会建立数学建模的思想。2.通过实际问题与二次函数关系的探究，掌握利用顶点坐标解决最大面积。3.能够反思解决问题的基本策略，形成个人解决问题的风格。.[教学重点与难点]重点:对生活中实际问题与二次函数关系的探究，建立数学建模.难点:如何把生活中实际的最大面积问题转化为二次函数最大值的数学问题。一、温故知新1.二次函数的顶点式是：（）；2.二次函数的顶点坐标公式是：，；3.把二次函数y＝化为顶点式为：y＝，当x＝时，y有最值为.ABCDFE40m3

2、0m二、合作探究（1）如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．问题1：⊿FDC、⊿CBE与⊿FAE相似吗？为什么？问题2：如果设矩形的一边AB＝xm，那么AD边的长度如何表示？答∵BC∥AD，∴∠CBE=∠FAE=又∵∠E=∠E∴△CBE∽．∴＝．又∵EA=40,AB＝x，EB＝，∴＝．∴BC＝．∴AD＝BC＝．问题3：设矩形的面积为ym2，则当x取什么值时，y有最大值，最大值是多少？．答：在矩形ABCD中∵AB＝x，AD＝∴y＝=，（填顶点式）∴当x＝时，y有最大值，y最大＝．

3、问题4：如果设矩形的一边AD＝xm，，那么AB边的长度如何表示？设矩形的面积为ym2，则当x取什么值时，y有最大值，最大值是多少？．（学生模仿问题2、3的思路完成）答：∵DC∥AB，ABCDFE40m30m∴∠FDC=∠FAE=又∵∠F=∠F∴△FDC∽．∴．又∵FA=30,AD＝x，FD＝，∴．∴DC＝．∴AB＝DC＝．在矩形ABCD中,∵AD＝x，AB＝∴y＝=，（填顶点式）∴当x＝时，y有最大值，y最大＝．图1三、合作探究（2）某建筑物的窗户如图1所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有

4、黑线的长度和)为15m，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？分析：x为半圆的半径，2x是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系.要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大。解：∵4y+4x+3x+πx＝7x+4y+πx＝15∴y＝∴面积S＝+2xy==（填一般式）四、回顾与小结：（1）把最大面积问题转化为数学问题——————即二次函数最大值问题，（2）把建立的二次函数化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可得到最大值。五、当堂测试1．把二次函数配方成顶点

5、式为（）。A．B．C．D．2．小明存入银行人民币500元，年利率为x%，两年到期，本息和为y元(不含利息税)，y与x之间的函数关系是（）。A．B．C．D．GHEFCDAB3．如右图，∠ACB=90°,AC=40,BC=30,填空①斜边AB上的高CH=，②设矩形DEGF的长DE=，宽EG为，则与的关系式是：。矩形DEGF的面积为，则与的关系式是：。六、作业：课本P47：1；2.公开课教案新庄中学赵艳