湖大大学数学4 1.3条件概率

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1、若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，满足：(1)非负性:P(A)≥0；(2)归范性:P()＝1；(3)可列可加性：设A1，A2，…,是一列两两互不相容的事件，则P(A1A2…)＝P(A1)＋P(A2)+….则称P(A)为事件A的概率。概率的公理化定义概率的性质(2)有限可加性：设A1，A2，…An,是n个两两互不相容的事件，则(3)单调不减性：若事件AB，则P(A)≥P(B)(4)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)(1)P()=0(5)加法公式：对任意两事件A、B，有P(AB)＝P(A)＋P(

2、B)－P(AB)(6)互补性例在1100这100个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被6或8整除的概率;（2）取到的数既不能被6也不能被8整除的概率;（3）取到的数能被6整除而不能被8整除的概率。第三节条件概率一、条件概率二、乘法公式三、全概率公式四、贝叶斯公式一、条件概率引例袋中有7只白球,3只红球,白球中有4只木球,3只塑料球;红球中有2只木球,1只塑料球.现从袋中任取1球,假设每个球被取到的可能性相同.若已知取到的球是白球,问它是木球的概率是多少？设:A表示任取一球，取得白球；B表示任取一球，取得木球.古典概型所求的概率称为在事件A发生的

3、条件下事件B发生的条件概率,记为.解:列表白球红球小计木球426塑球314小计7310从而有因此，若事件A、B是古典概型的样本空间Ω中的两个事件,其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则设A、B为两事件,P(A)>0,则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，记为定义?“条件概率”是“概率”吗？概率P(A)，满足：(1)0≤P(A)≤1;=>0≤P(B

4、A)=P(AB)/P(A)≤1(2)P()＝1;=>P(

5、A)=P(A)/P(A)=1(3)可列可加性设BC=,P(BC

6、A)=P{(BC)A}/P(A)=P(BACA

7、)/P(A)=P(BA)/P(A)+P(CA)/P(A)=P(B

8、A)+P(C

9、A)条件概率的性质：;.条件概率与无条件概率之间的大小无确定关系若一般地条件概率无条件概率例2、已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率．则所以解：设A={3个小孩至少有一个女孩}B={3个小孩至少有一个男孩}二、乘法公式(p16)设A、B为两个事件，P(A)>0,则P(AB)＝P(A)P(B

10、A).（*）就称为事件A、B的概率乘法公式。式(*)还可推广到三个事件的情形：P(ABC)＝P(A)P(B

11、A)P(C

12、AB).一般地，有下列公式：

13、P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2

14、A1)...P(An

15、A1…An－1).例3、袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止．求取了n次都未取出黑球的概率．解：则.由乘法公式，我们有某商店搞抽奖活动.顾客需过三关,第i关从装有i+1个白球和一个黑球的袋子中抽取一只,抽到黑球即过关.连过三关者可拿到一等奖.求顾客能拿到一等奖的概率.解:设Ai:“顾客在第i关通过”;B:“顾客能拿到一等奖”,答:顾客能拿到一等奖的概率为1/60.例4设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为

16、1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10。求透镜落下三次而未打破的概率。解：以Ai(i=1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，以B表示事件“透镜落下三次而未打破”，有：例5练习盒中有3个红球，2个白球，每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。解：设Ai为第i次取球时取到白球，则三、全概率公式与贝叶斯公式例6.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市

17、场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。BSA1A2An…...BA1BA2…...BAn定义设Ω为试验E的样本空间，为E的一组事件。若满足(1)(2)则称为样本空间Ω的一个划分。定理1(全概率公式)设A1,…,An,…是Ω的一个划分，且P(Ai)>0，(i＝1,…,n,…)，则对任何事件BΩ,有设随机事件满足：定理1(全概率公式)全概率公式的证明由条件：得而且由A1A2An…...BA1BA2…...BAnΩ所以由概率的可列可加性，得代入上式，得例6.市场上有甲、乙、丙三家工

18、厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求