空间向量的数量积运算 (I)

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1、掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．3.1.3空间向量的数量积运算【课标要求】【核心扫描】空间向量的数量积运算．(重点)利用空间向量的数量积求夹角及距离．(难点)空间向量数量积的运算律．(易错点)1．2．1．2．3．1．空间向量的夹角自学导引定义记法______范围_____．当〈a，b〉＝时，_____〈a，b〉[0，π]a⊥b想一想：〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与

2、〈a，－b〉呢？提示〈a，b〉＝〈b，a〉，〈a，－b〉＝π－〈a，b〉．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则

3、a

4、

5、b

6、cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律2．数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝______交换律a·b＝____分配律a·(b＋c)＝________λ(a·b)b·aa·b＋a·c(3)数量积的性质两个向量数量积的性质(1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.(2)若a与b同向，则a·b＝

7、a

8、·

9、b

10、；若反向，则

11、a·b＝－

12、a

13、·

14、b

15、.特别地：a·a＝

16、a

17、2或

18、a

19、＝(3)若θ为a，b的夹角，则cosθ＝.(4)

20、a·b

21、≤

22、a

23、·

24、b

25、.想一想：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？提示数量积a·b等于a的长度

26、a

27、与b在a的方向上的投影

28、b

29、·cosθ的乘积．空间向量夹角的理解(1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围同两平面向量夹角范围一样，即[0，π]；名师点睛平面向量与空间向量数量积的关系由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向

30、量垂直的定义和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等都与平面向量相同．1．2．空间向量数量积的应用由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，所以立体几何中的许多问题，如距离、夹角、垂直等问题的求解，都可借助于向量的数量积运算解决．(2)a⊥b⇔a·b＝0，用于判断两个向量的垂直．(3)

31、a

32、2＝a·a，用于对向量模的计算，求两点间的距离或线段的长度．3．注意：①数量积运算不满足消去律若a，b，c(b≠0)为实数，则ab＝bc⇒a＝c；但对于向量就不正确，即a·b＝b·c(b≠0)⇒/a

33、＝c.②数量积运算不满足结合律数量积的运算只适合交换律，分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．题型一利用数量积求夹角如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．【例1】规律方法在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题．需注意的是

34、：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补．如图所示，已知S是边长为1的正三角形ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC＝1，M、N分别是AB、SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值．【变式1】如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．题型二利用数量积求两点间的距离【例2】如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC

35、＝CD＝2，求A，D两点间的距离．【变式2】(12分)已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点．求证：OG⊥BC.题型三利用数量积证明垂直关系【例3】如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD.【变式3】把空间向量转化为平面向量，把立体几何问题转化为向量问题来解决是转化与化归思想在本节中的应用．如图所示，在▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60

36、°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长．方法技巧　转化与化归思想在立体几何中的应用【示例】方法点评把线段的长转化为向量的模是解决该类问题常用的解题方法．用已知向量表示目标向量是解决该类问题的关键．单击此处进入活页规范训练