数学史 第八讲

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1、第五章数学之根第八讲3.数理逻辑数理逻辑是公理化、集合论与形式逻辑相结合的产物。有这样几种说法：“数学是建立在集合论与数理逻辑两块基石上的”（胡作玄）；“数学理论源于公设集与逻辑这两个因素的相互作用”（H.伊夫斯）；我们说“数学是建立在实数和数理逻辑上的”。尽管各种说法在形式上有所不同，但逻辑或说数理逻辑总是其公共部分，可见数理逻辑在数学中的基础作用了。纯数学致力于从已有概念和结论得到出新的结论，数理逻辑则不然，它致力于从逻辑学的“演算”出发，根据某些基本事实，推出数学赖以存在的基石和生长点。现代数理逻辑在如下四个分支上是很活跃的。（1

2、）证明论又叫元数学，由弗雷格创立于1893年，后为希尔伯特及其学派发展成一门独立分支。它的主要任务是要证明数学中的“相容性”（也叫无矛盾性）。不过希尔伯特早期想用“有限”步来完成对整个数学的相容性证明是不现实的，当哥德尔不完全性定理表时“有限步”的设想不可能后，才被修改成“无穷步证明数学的相容性”。甘岑的“超穷归纳法”对“无穷步证明”贡献也较大，但至今仍没有完成原来拟定的任务，比如关于数学分析的相容性证明，都还有待继续发努力。（2）递归论它属于硬数学，探讨对一个函数能否用有限步进行有效计算问题。简称有效可计算问题。所谓“有效”即是要得到

3、精确结果。能进行有效可计算的函数叫做递归函数。递归函数是一种简单的离散动力体系模型。递归论研究的主要对象是递归函数。作为递归函数研究的深入，是探讨非递归函数，从而得出判定问题和非判定问题概念。一般判定问题是，对一个具体公式或定理，证明是否存在一个有限可实现的步骤，使之被形式地推导出来，第一个提出判定问题的是希尔伯特以其“第十个问题”──决定戴氏方程的可解性。该问题已于1972年为一苏联青年人马吉亚色维奇解决，其方法十分初等，令同行长辈们惊讶不矣。判定问题又叫计算复杂性问题，这是计算机科学中一个重要理论分支。对“计算复杂性”之复杂性，曾有

4、人戏称，若谁解决了它，当授予两吨重金质勋章，并全世界数学家放假四日，以示庆贺。3）模型论模型论产生于1950年左右，“模型”是一种数学结构，它常常是人为构造的，其目的是为了解释数理论逻辑上某种或某组语句（一组语言的闭公式）。对于一个语句，若能构造出一个模型使得语句在该模型中成为“可满足的”，则该语句为真。有人把语句比作语法，模型比作语义。亦即这时的模型相当于在语句所给语法范围内，构造出一个例句来，若构造成功，则该语句是“合理”的。显然，模型论的关键在于构造模型，这是很难的具有高度技巧性的内容，是需要专门研究的课题，目前已创造出若干建模的

5、方法，诸如初等链法、图式法、力迫法、超积法、齐性集合法、紧性定理法等等。4）公理集合论在本章第二节已简单介绍，公理集合论是继哥德尔不完全定理之后，为了谨慎探索集合论的性质，分别提出来的若干公理系统，从而也是一定的限制范围内研究集合的理论。这的确是很凑效的，每个公理系统都为数理逻辑或纯数学作出了重要贡献。其中最早完成也是最有名、贡献最大的公理系是策梅罗的选择公理系，好多有名定理的证明都不少不了选择公理系。4.数学哲学哲学是一个认识科学，它把经验和现象上升成理念，以认识事物的本质，因此任何一门科学，包括对社会、人生的理解，只要触及到本质，可

6、以说就进入了哲学。在这方面数学更为典型。历史一开始，数学与哲学就是孪生兄弟，数学方法为哲学的方法论所倾慕，而数学方法探源则成了哲学的认识论。这就不难理解数学史上任何时期都不乏身兼数、哲两职的数学家了，原来这正是数学自身的需要。即然是哲学，就少不了争论，在这场数学哲学的争论中主要希望解决逻辑与数学的关系、什么是数学等问题，在争论中形成了三大学派，他们共同的目标是，试图用自己的一套理论去统览数学。1）直觉主义学派其代表人物L.布劳威尔（1881—1966）。知道布劳威尔不动点定理的读者不少，但知道他对数学的哲学观点者，就不一定多了。直觉主义

7、的特点是“植根于数学的构造性”。这是算术计算形式的深化与扩充，属枚举数学、穷竭法等思想体系，也可以叫它做“硬数学”。它既不同于现实世界中的感觉（经验主义），也不同于逻辑主义中的“演算，”它认为逻辑规律并不对数学有任何约束作用，数学是自由的，他们不承认无理数、不承认无穷性的阶和超势等抽象的概念；他们坚持康德的观点，认为算术是在时间基础上的直觉，而数学是建立在算术基础上的，所以数学应该是“直觉”的；他们试图构造一个不依靠排中律的集合论，为此还于1909年直接与希尔伯特通信辩论过。2）形式主义学派尽管希尔伯特自己并不承认其形式主义，但举世公认

8、形式主义学派的代表人物是希尔伯特，他的信条是“数学与形式符号有关”。他是在完成《几何学原理》（1899）的基础上“建立起”这一学派的，他提出了一套“宏伟”计划，试图把整个数学无矛盾地纳入一套完备的形式符号体