数学史的第一讲

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1、第一讲数学的起源与早期发展1.1数与形概念的产生原始人在采集、狩猎等生产活动中首先注意到一只羊与许多羊、一头狼与整群狼在数量上的差异．通过一只羊与许多羊、一头狼与整群狼的比较，就逐渐看到一只羊、一头狼、一条鱼、一棵树……之间存在着某种共通的东西，即它们的单位性．审美意识的萌芽形的概念形成人类生活与生产实践的需要有-无多-少对应原则实物计数口头计数数字结绳书契掐指记数语言产生文字产生记数法自然物形状的意识算术自然模似思维发展语言产生文字产生瞎子放羊的故事数学的起源手指计数（伊朗，1966）正如亚里士多德早就指出的那样，今天十进制的广泛采用，只不

2、过是我们绝大多数人生来具有10个手指这样的一个解剖学事实的结果.因此，虽然在历史上手指计数即用5或10的计数实践比二或三的计数出现要晚，但五进制和十进制却几乎一律地取代了二进制或三进制.数学的起源结绳计数中国古代文献《周易·系辞下》“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”。（书契：记号、文字）结绳计数（秘鲁，1972）数学的起源古代南美印加部落用来记事的绳结——基普（quipu）数学的起源迄今发现的人类刻痕记数的最早证据，是1937年在捷克摩拉维亚地方出土的一块幼狼胫骨，距今约3万年前。又经历了数万年的发展，到距今大约五千多年前，终于出现记数以及

3、相应的记数系统。数学的起源文字5000年(伊拉克,2001)数学的起源与算术的产生相仿，最初的几何知识则是从人们对形的直觉中萌发出来的。史前人大概首先是从自然界本身提取几何形式，并在器皿制作、建筑设计、绘画装饰中加以再现。早期人类的几何兴趣，不只是对圆、三角形、正方形等一系列几何形式的认识，而且还有对全等、相似、对称等几何性质的运用。数学的起源西安半坡遗址构形数阵之一——三角形数（数与形的联系）数学的起源数学的起源经验的几何知识随着人们的实践活动而不断扩展，不过在不同的地区，几何学的这种实践来源方向不尽相同。古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的

4、重新丈量；古代印度几何学的起源则与宗教实践密切相关；古代中国的几何学则更多起源于天文观测。1.2河谷文明与早期数学古代埃及古巴比伦古代印度（单讲）古代中国（单讲）历史学家往往把起源于埃及、美索不达米亚、中国和印度等地域的古代文明称为“河谷文明”。早期数学，就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉底河、黄河与长江，印度河与恒河等河谷地带首先发展起来的。从可以考证的史料看，古埃及与美索不达米亚的数学在年代上更为久远，只是在公元前均告衰微，崛起稍晚的中国与印度数学则延续到纪元之后并在中世纪臻于高潮。因此为叙述连贯起见，我们在本章中主要介绍古埃及与美索不达米亚

5、的数学，而将古代中国与印度数学放到中世纪的章节中一并讲述。（1）古代埃及的数学古代埃及地图古代埃及的数学埃及文明上溯到距今6000年左右，从公元前3500年左右开始出现一些小国家，公元前3100年左右开始出现初步统一的国家。1、古王国时期：前2686－前2181年。埃及第一个繁荣而伟大的时代，开始建造金字塔。2、新王国时期：前1567－前1086年。埃及进入极盛时期，建立了地跨亚、非两洲的大帝国。直到公元前332年亚历山大大帝征服埃及为止。埃及人创造了连续3000多年的辉煌历史，发明了铜器、创造了文字、掌握了较高的天文学和几何学知识，建造了巍峨

6、宏伟的神庙和金字塔。古代埃及简况古代埃及的数学吉萨金字塔(公元前2600年)（刚果，1978）古代埃及的数学莱茵德纸草书莫斯科纸草书古代埃及的数学这两部纸草书实际上都是各种类型的数学问题集。莱茵德纸草书主体部分由84个问题组成，莫斯科纸草书则包括了25个问题。这些问题大部分来自现实生活。这两部纸草书无疑是古埃及最重要的传世数学文献。古代埃及的数学在莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中，象形数字被简化为僧侣文数字。冗长的重复记号被抛弃了，引进了一些表示数字与10的乘幂的倍数的特殊记号。在青铜时代，随着社会的进步和经济的发展，分数的概念与分数记号也应运而生

7、。单位分数的广泛使用成为埃及数学一个重要而有趣的特色。他们将所有的正分数都表示为一些单位分数的和。古代埃及的数学埃及人最基本的运算是加法。乘法运算是通过逐次加倍的程序来实现。在除法运算中，加倍程序被倒过来执行，即除数取代了被除数的地位被拿来逐次加倍。古代埃及的数学莱茵德纸草书中有些问题显示了埃及人运用加倍程序与单位分数概念而展开的熟练的计算技巧。纸草书中有些问题可以被归之于我们今天所说的代数学的范畴，它们相当于求解形如x+ax=b或x+ax+bx=c的一次方程。在解这一类方程中，纸草书的作者所用的解法实质上是一种算术方法——“假位法”。（何为假

8、位法？）古代埃及的数学古代埃及的数学埃及人还发展了卓越的几何学。有一种观点认为，尼罗河水每年一次的定期泛滥，淹没河流两岸的谷地。大水过后，法老要重新分