数学史 第九讲

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1、第六章数学之树第九讲数学在现代的发展状况酷似一棵树，一棵硕大的榕树，往上有不断增枝为蘖的树冠，往下有不断伸展扎实的树根，生机勃勃，气象万千，从这一角度对数学的描述即是本章宗旨的一个方面。在人类社会史上，首先有了整数的概念，然后即向着两个方向发展。一方面往数学的结构方向发展；另一方面往数学运算方向发展，对前者的描述是上一章的任务，对后者的描述正是本章任务。数学在运算上呈现出了两个大的分杈，一个是演绎数学；一个是数值数学1.演绎数学在演绎数学方面，首先看到的是由古老的初等几何、初等代数和初等数论发展起来的三大枝系，其次是大有后来居上之势的数学分析和概率论这样两个不可小视的巨大枝系。今

2、天，上述五个“枝系”都在尽情地发展着，看不到尽头。本节即从这五个方面来分头叙述演绎数学。（1）第一支系──几何学1）几何学科知多少几何学从来都是数学王国的主要成员，是数学王国中名副其实的半边天，以致如果今天要问世上现在有多少门几何学，这是难以算清的。因为数学学科的集合对于几何概念来说已具有模糊性了，就已有的附有几何名称的学科来说至少可有几何原本、初等几何、画法几何、解析几何、微分几何、随机微分几何、射影几何、仿射几何、保形几何、度量几何、相似几何、张量几何、黎曼几何、罗巴捷夫斯基几何、内蕴几何、距离几何、网络几何、计算几何、几何基础、数的几何、接触几何、辛几何、代数几何、大范围几

3、何、齐性空间局部几何和Banach几何等等。甚至70年代还产生了一个分形几何（Fracturalgeometry）。以上所举几何可分作三类，一类可叫作直接的公理化体系几何；一类可叫作代数方法构成的几何（如解析几何）；第三类可叫作用分析方法构成的几何（如微分几何）。这就是一个以初等几何为源发展起来的几何学类的梗概。2）几何理论发展脉络在纯数学的几何理论中，从古至今这一时间金线上，串连着如下几个里程碑，它勾画出了几何理论的发展脉络。①欧几里德的《几何学原本》（公元前3世纪），最伟大的贡献是提出了公理化思想。②在公理化思想下产生了非欧几何（公元19世纪初），并在19世纪中叶形成了非欧几

4、何热。③欧氏几何与非欧几何热促成克莱茵的“艾尔兰根纲领”问世（1872年）。他提出了“几何变换的实质是找不变性质或不变量。④在艾尔兰根纲领下总结出了射影几何。（公元17世纪）。⑤希尔伯特的《几何学基础》（1899年）。它的贡献是完善了几何学的公理化体系，它提出了一组21个公理，使得欧几里德《几何学原本》中的漏洞“全被补上了”。最后当提到，20世纪来几何学可说正沿着侧地线→极小曲面→不变子流形→调和映谢这样一条主脉络发展，主要贡献者也许要数德．拉蒙，E．卡担，安德森、陈省身及邱成桐，进一步还可参考《几何在美国的复兴：1938-1988》。据信有的数学家用代数方式思维，有的用几何方式

5、思维，也有的用物理方式思维，但很多数学家的经验表明，数学家的基本思维方式仍然是几何的。笛卡尔说，“没有什么比几何图形更容易进入人的思维了”。阿诺尔德说，“我常常是用几何方式思维，先绘出图而不是写下公式”。（2）第二支系──代数学1）代数的支系代数一般应理解为16世纪开始的“符号代数”。在这种意义下我们说初等代数是在秉承四则运算之下，引入参变量和未知量而成的，此后在近400年中，这的发展沿着两支进行。一支是方程组论。研究多元线性代数方程组的解（解的方法和解的理论）。在解的理论中形成了行列式理论，矩阵理论，线性空间理论等大的分支，总称为线性代数，一支是方程式论。研究高次代数方程的根（

6、根的求法和根的理论）。由于对五次和五次以上方程无一般有限形式的解（亦叫根）的证明产生了伽罗华群理论（19世纪30年代），从而很快发展成都以群、环、域、体、理想、模等一系列概念为核心的“近世代数学”。如今代数学仍然表现为以这样两分支上的理论深化与实际应用作为这的任务和内容。2）矩阵论一个线性代数方程组完全地决定于它的系数矩阵。所以要要求方程组解的方法和理论都少不了以系数矩阵为讨论对象，因此线性代数中产生了专门的矩阵论这一重要分支。①稀疏矩阵。这是指对一些特殊阵的研究。如厄米特阵（又叫幂零阵）②一般矩阵理论，这是针对特征值、标准型、矩阵变换、逆矩阵、多项式矩阵，模糊矩阵等等方面进行的

7、理论研究，这些内容统称做矩阵代数。③矩阵分析。这包括对矩阵函数、函数矩阵和矩阵方程所涉及的连续、极限、微积分运算等性质的研究。3）群论新理论常常产生于事物在最难点处的突破，多项式求根理论的发展比线性方程组难，恰好多项式理论产生的突破就更大，近世代数就是这样来的。群概念建立正是产生近世代数的突破点，但事实还远不止于此，如今群论已发展成有必要从近世代数中独立出来，成为与近世代数同等规模的庞大体系，因此这里不能不专门谈一谈群。群，直观地说，“若一个具有单位元的集合G对某个给定的“乘”运