数学史与不等式选讲

《数学史与不等式选讲》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、“数学史与不等式选讲”模块（10分）1、证明：①已知,且，求证：②已知且，求证：证明①证法1：（1+1+a）(1+1+b)(1+1+c)=……………5分证法2：8+4（a+b+c）+2(ab+ac+bc)+abc9+12+6=27……………5分②证明：==2（）-3………………10分2、（1）求函数的最大值；（2）若函数最大值为，求正数a的值．解：（1）………………3分当且仅当………………5分（2）由已知…………10分3、已知a＞0,b＞0，m，n∈R，，令，试确定的大小关系并证明。解：显然，……4分…

2、…8分，所以．……10分4、已知正数满足.(1)求证:;(2)求的最小值.(1)解:根据柯西不等式，得　　,因为,所以.…………（5分）(2)解:根据均值不等式,得,当且仅当时,等号成立.根据柯西不等式,得,即,当且仅当时,等号成立.综上,.当且仅当,,时,等号成立,所以的最小值为18.…………（10分）4、1用表示两个数中的较大值.设(),求的最小值;2、用表示三个数中的最大值;设(),求的最小值.解:(1)由,（1分）得（3分）又当时,（1分）(2)由,,（1分）得=（3分）又当==,即时,.（10

3、6、已知，（1）求证：；（2）求的最小值.1）由柯西不等式可得整理得………………………………………………………5分（2）解法一：故最小值为12。……………………………………………………………………………10分解法二：解法三：7、设正数x，y，z满足（1）求证：；（2）求最小值．解：（1）由已知得所以，由柯西不等式，得即………………5分（2）设所以，由柯西不等式，得，当且仅当时“=”成立。所以………………10分89、已知为正实数，且．证明：，并求等号成立时的值．证明：法一：………………………5分当且仅当且

4、时，取到等号.或若，即，∴，∴或．当时，；当时，，从而．若，则,，．K*s*5*u∴当或时取到等号．………10分（指出时得2分，指出时得3分．）法二：……………………5分当即且当时，即或时取到等号．当时，又由得；当时，又由得．∴当或时取到等号．…………10分10、已知，且（1）若，求的值。（2）若恒成立，求正数的取值范围。解：（1）……………………………………2分当且仅当时取“＝”又……………………………………………………4分……………………………………………………………………5分（2）……………………

5、…………………7分…………………………………………………………9分恒成立，………………………………………………………………………………10分解：(1)由柯西不等式得‘