高考数学必备秘笈--三角高考数学题的常规解题途径宝典

《高考数学必备秘笈--三角高考数学题的常规解题途径宝典》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、三角高考数学题的常规解题途径由于三角问题公式繁、题型杂、技巧多，学生在做这类题时，往往盲目探索，超时失分现象较为严重。若将各种题型技巧全部强化训练，又会陷入题海。如何解决这一矛盾？笔者认为：三角高考题都有比较明确的解题方向，只要在复习中让学生从整体上加以把握，掌握其常规的解题途径，就能获得事半功倍的效果。途径1：化成“三个一”“三个一”是指一个角的一种三角函数一次方的形式。这种方法的解题步骤是：运用三角公式，把所求函数变换成“三个一”的形式，即y=Asin(ωx+ϕ)等形式，再根据已知条件及其性质深入求解。一般求三角函数的性质问题，如对称性、单调性、周期性、最值、值域、作图象等问题均可用此法

2、。这类题在高考中每年都作重点考查。4422例1.（2004年全国）求f(x)=(sinx+cosx+sinxcosx)/(2−sin2x)的最小正周期、最大值和最小值。分析：本题属于求三角函数性质问题，故使用途径1。221−sinxcosx简解：f(x)=2(1−sinxcosx)11=+sin4x24所以T=π/2，y=3/4，y=1/4maxmin评注：由于解题思路方向明确，避免了盲目探索，使解题过程简明流畅。途径2：化成“两个一”若某些问题化不成“三个一”，也可只化成一个角一种三角函数n次方的形式，或一个角的两种三角函数一次方的形式，即只能达到“两个一”的要求。此时可通过配方、求导、解

3、方程、设辅助角等手段进一步求解。22例2.（2004年广东）当0

4、有界性，求得22y−2y+1y=4。min途径3：边角转换若已知三角形的某些边或角的关系，而求另一些边或角或判断三角形形状时，可运用正（余）弦定理或面积公式，把边都化为角，或把角都化为边，然后通过解方程求之。例3.在∆ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且cosB/cosC=−b/(2a+c)，（1）求角B；（2）若b=13，a+c=4，求a的值。简解1（边化角）：cosB/cosC=−sinB/(2sinA+sinC)⇒2sinAcosB=−sin(B+C)=−sinA⇒cosB=−1/2⇒B=120°简解2（角化边）：222a+c−b2abb222⋅=−⇒a+c−b2222ac

5、a+b−c2a+c=−ac⇒cosB=−1/2⇒B=120°222（2）因为b=a+c−2accosB，22所以13=a+(4−a)−2a(4−a)cos120°，得a=1或3评注：有些学生把条件变形为b=(2a+c)cosB/(cosBcosA−sinAsinB)后，便思路受阻，显示他们对三角题的常规解法不熟。途径4：三角变换三角变换就是运用各种三角公式（倍、半、和差、诱、万能等），通过切弦互化、变角、变名、变次等技巧，将一个三角式恒等变形为另一种形式的方法。例4.（2002年全国）已知cos(α+π/4)=3/5，π/2≤α≤3π/2，求cos(2α+π/4)的值。分析：本题是由角α+π

6、/4的余弦求角2α+π/4的余弦，故用角变换。因为2α+π/4=2(α+π/4)−π/4，而2(α+π/4)的正、余弦值可用二倍角公式求出，则本题获解。简解：cos2(α+π/4)2=2cos(α+π/4)−1=−7/25因为3π/2<α+π/4≤7π/4，所以sin(α+π/4)=−4/5故cos(2α+π/4)=cos[2(α+π/4)−π/4]=cos2(α+π/4)cosπ/4+sin2(α+π/4)sinπ/4=−312/50评注：本题解法很多，每种方法都要经历复杂的三角变换，以及讨论角的范围。途径5：等价转化有些问题无法直接选用前4种途径，而需先转化后选用。即先将各已知条件转化为

7、三角形式，然后从前4种途径中择一求解。这类高考题处于知识网络的交汇点上，易发挥考查数学能力的功效，故必是高考常见的命题形式，需重点留意。例5.（2004年广东）已知α，β，γ成公比为2的等比数列（α∈[0，2π]），且sinα，sinβ，sinγ也成等比数列，求α，β，γ的值。分析：本题处于三角与数列的交汇点上，数列起过渡作用，重心在三角上。用途径5，2先把角成等比转化为β=2α，γ=4α，代入sinβ=si