导数讲解和习题

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1、导数１．求导法则：(c)/=0　这里c是常数。即常数的导数值为０。(xn)/=nxn－1　　特别地：(x)/=1(x－1)/=()/=－x-2f(x)±g(x))/=f/(x)±g/(x)(k•f(x))/=k•f/(x)２．导数的几何物理意义：k＝f/(x0)表示过曲线y=f(x)上的点P(x0,f(x0))的切线的斜率。V＝s/(t)　表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。３．导数的应用：①求切线的斜率。②导数与函数的单调性的关系㈠与为增函数的关系。能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。㈡时，与为增函数的关系。若将的根作为分界点，因为规定，

2、即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。㈢与为增函数的关系。为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。㈣单调区间的求解过程，已知（1）分析的定义域;（2）求导数（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不

3、等式，解集在定义域内的部分为减区间。我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数在某个区间内可导。③求极值、求最值。注意：极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a)、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a)、f(b)中最小的一个。　f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值。但是，当x=x0时，函数有极值f/(x0)＝0判断极值，还需结合函数的单调性说明。4.导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切

4、线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型。2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。1．曲线在点（1，－1）处的切线方程为A．B．C．D．2．函数在处的导数等于A．1B．2C．3D．43．已知函数的解析式可能为A．B．C．D．4．与直线的平行的抛物线的切线方程是A．B．C．D．6．已知在R上是减函数，求的取值范围.7．若函数在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求

5、实数a的取值范围.8.知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.9．已知函数是R上的奇函数，当时取得极值.(I)求的单调区间和极大值；(II)证明对任意不等式恒成立.10．已知函数在处取得极值.（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；（2）过点作曲线的切线，求此切线方程.11的图象相切.（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；（Ⅱ）设函数内有极值点，求c的取值范围.12．已知函数为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）求函数在区间[0，1]上的最大值.13．已知a为实数，（Ⅰ）求导数；（Ⅱ）若，求在[--2，

6、2]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若在（—∞，—2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围.14．设曲线≥0）在点M（t,e--t）处的切线与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）.（Ⅰ）求切线的方程；（Ⅱ）求S（t）的最大值.