南开中学高2010级08-09学年(上)半期试题——数学(理)

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1、重庆南开中学高2010级高二上期期中测试数学（理科）第I卷（选择题50分）一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1．焦点坐标为的抛物线的标准方程为（）A．B．C．D．2．设定点、，动点满足条件，则点的轨迹是（）A．双曲线或两条射线B．双曲线的一支C．双曲线D．双曲线的一支或一条射线3．以下说法错误的是（）A．若，则直线B．经过三点有且仅有一个平面C．三直线两两相交，且不共点，则三直线共面D．三直线，若，则4．已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A．B．C．D．5．设为椭圆的右焦点，则该椭圆上与点的距离最

2、远的点到椭圆右准线的距离为（）A．2B．5C．6D．206．抛物线上的一点Q的横坐标为6，且Q点到抛物线的焦点F的距离，则点到抛物线的准线的距离是（）A．16B．12C．8D．47．如果直线过点，且与抛物线只有一个公共点，则这样的直线的条数为（）A．0B．1C．2D．38．空间四边形ABCD中，线段AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、R、S，则在下面的命题中：（1）P、Q、R、S四点共面；（2）PR与QS不相交；（3）当AC=BD时，四边形PQRS是菱形；（4）当AC⊥BD时，四边形PQRS是矩形。正确命题的个数为（）A．1个B．2个

3、C．3个D．4个9．过抛物线的焦点作圆的一条切线，设该切线与抛物线交于A、B两点，则

4、AB

5、的值为（）A．B．C．16D．3210．已知椭圆与双曲线共焦点，点是该椭圆与双曲线在第一象限的公共点，如果以椭圆的右焦点为焦点，以轴为准线的抛物线恰过点，那么椭圆的离心率与双曲线的离心率之间的关系为（）A．B．C．D．第II卷（非选择题共100分）二、填空题（每小题4分，6小题，共24分，请将答案填在答题卡相应位置的横线上）11．参数方程所对应的普通方程为。12．已知与相外切，则=。13．渐近线为的双曲线经过点，则双曲线的方程为。14．直线交椭圆于两

6、点，若中点横坐标为1，则=。15．已知P是抛物线上一点，则P到直线的距离最小值为。16．如右图所示，C是半圆弧上一点，连接AC并延长至D，使，则当C点在半圆弧上从B点移动至A点时，D点所经过的路程为。三、解答题（本大题共6小题，76分，请在答题卡相应位置作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（13分）椭圆，双曲线的方程为（1）求的焦点坐标、离心率及准线方程；（2）若的离心率与的离心率互为倒数，且的虚半轴长等于焦点到相应准线的距离，求的方程。18．（13分）如图：已知正方体中，为的中点，求异面直线与所成角的大小。19．（13分）

7、半径为的圆的圆心在射线上，且截轴所得的弦长为1。（1）求圆的方程。（2）设为圆C上一动点，O为坐标原点，求的重心G的轨迹方程。20．（13分）如图：椭圆，其准线与轴交点为D，一直线过右焦点F与椭圆交于两点，当面积为时，求直线的方程。21．（12分）已知直线与双曲线的左支交于点，右支交于点（1）求的取值范围；（2）若直线与轴交于点，且满足，求直线的方程。22．（12分）动点到定点和定直线的距离之和为4；（1）求动点的轨迹方程；（2）过点F做斜率为的直线交点的轨迹于AB两点，求的最大值。重庆南开中学高2010级高二上期测试数学（理科）答案一、选

8、择题ABBCCCDCDA二、填空题11．12．13．14．15．16．三、解答题17．解：（1）椭圆的焦点坐标为，离心率为，准线方程为；（2）由题意，双曲线的离心率为，虚半轴长，于是，得，所以，所以双曲线的方程为。18．解：设的中点为，连结ME、、AM。因所以四边形为平行四边形，所以，又E、M分别为和的中点，所以，，所以，故（或其补角）为异面直线AE和BD所成的角。故由余弦定理有：所以，故异面直线AE和BD所成的角的大小为。19．解：（1）因圆的圆心在射线上，故设圆心为，又该圆截轴所得的弦长为1，故由垂径定理及勾股定理知，圆心到轴的距离为，

9、即，所以，从而圆的方程为。（2）设，由重心坐标公式有：，又点在圆上，故，所以有。又P、C、O为三角形的三顶点，故点在不直线上，从而点也不在直线上，由所以的重心的轨迹方程为（去除两点）。20．解：易得椭圆右焦点的坐标，点的坐标为，故。显示直线与轴不重合，故设直线的方程为，，由于是所以，整理得，解得或（舍去），故或。所以直线的方程为或。21．解：（1）由（1）因直线与双曲线在左、右两支分别交于、两点，所以，解得，所以的取值范围为（2）因且点在线段上，故，设，由于点的坐标为，所以有，所以，于是可得：，所以有：，结合（1）有，解得。又由于点在左支，

10、点在右支，并结合知，所以，从而直线的方程为。22．解：（1）设，由题意有当时，有，整理得；当时，有，整理得故点的轨迹方程为（2）设直线的方程为，易求得曲线与曲线的交点为和，从而可