2009年全国高中数学联赛训练题

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1、2009年全国高中数学联赛训练题一．填空题：1．已知过点可作曲线三条切线，则的取值范围是.A．（－2，3）B．（－3，－2）C．（－1，1）D．（－7，－2）2．若函数有最小值，则a的取值范围是.3．将一组以1开头的连续的正整数写在黑板上，擦去其中一个数，余下的数的算术平均数为，则擦去的那个数是.4．已知，则的最小值是.5．设函数的定义域为，且满足，若的图像有对称轴，在区间上单调递减，则的取值范围为.（）A．B．C．D．6．设是的任一排列，是到的映射，且满足，记数表.若数表的对应位置上至少有一个不同，就说是两张不同的数表.则满足条件的不同的数表的张数为

2、()A．144　　　B．192　　　　C．216　　　　　D．5767．设集合，是S子集，且满足：，，那么满足条件的子集的个数为．8．＝.9．从m个男生，n个女生（）中任选2个人当组长，假设事件A表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同．如果A的概率和B的概率相等，则（m，n）的可能值为．10．在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上.AD的长度的最小值为.611．是平面上不共线三点，向量，，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，向量．若，，则的值是________．12

3、．函数是定义在无限集合D上的函数，关且满足对于任意的，①若则=；②试写出满足下面条件的一个函数存在，使得由，…，，…组成的集合有且仅有两个元素.这样的函数可以是=.（只需写出一个满足条件的函数）二、解答题：13．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且()2＝·＋·＋·．（Ⅰ）判断△ABC的形状，并求sinA＋sinB的取值范围；（Ⅱ）若不等式a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)≥kabc，对任意的满足题意的a，b，c都成立，求k的取值范围．14．设椭圆C：＋＝1的左焦点为F，左准线为l，一条直线过点F与椭圆C交于A，B两点，若直

4、线l上存在点P，使△ABP为等边三角形，求直线AB的方程．15．已知，，其中正整数．6（1）求证：对于一切的正整数，都有；（2）求的最小值，其中约定．16、若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．参考答案：1、（－3，－2）2、3、4、65、6、2167、371个8、19、10、11、812、013、略14、解法一：∵F(－，0)，l：x＝－2，离心率e＝．（1）当AB垂直x轴时，A(－，1)，B(－，－1)．∴

5、AB

6、＝2，又此时线段AB的垂直平分线与直线l的交点为P(－2，0)，

7、P，A，B不构成等边三角形，不合题意．（2）当AB不垂直x轴时，设AB的方程为y＝k(x＋)(k≠0)，代入＋＝1得，(1＋2k2)x2＋4k2x＋4(k2－1)＝0，∵△＞0，且x1＋x2＝－，x1x2＝，设AB中点为M，则M(－，)，线段AB的垂直平分线方程为y－＝－(x＋)，此直线与l的交点为P，则P的坐标为(－2，＋)，

8、MP

9、＝＝．(或

10、MP

11、＝

12、xM－xP

13、＝)而

14、AB

15、＝(ex1＋2)＋(ex2＋2)＝(x1＋x2)＋4＝×(－)＋4＝．△ABP为等边三角形Û

16、AB

17、＝

18、MP

19、，即×＝，＝，解得k＝±．所以直线AB的方程为y＝±(x＋)．

20、解法二：：如图，∵F(－，0)，l：x＝－2，离心率e＝．设过点F的弦AB的中点为M，分别过A，B，M向准线l作垂线，垂足分别为A1，B1，M1，则

21、MM1

22、＝(

23、AA1

24、＋

25、BB1

26、)＝(＋)＝

27、AB

28、，又因为△PAB为等边三角形Û

29、PM

30、＝

31、AB

32、，所以＝，xyOFABMB1A1M1lP即cosÐPMM1＝，∴sinÐPMM1＝ ，tamÐPMM1＝，又kPM＝±tamÐPMM1＝±∵AB^PM，∴kAB＝－＝±.6所以直线AB的方程为y＝±(x＋)．15、（1）证明：对于一切的正整数，．（2）由不等式知当时，等于成立，所以有最小值．16、称为的数

33、码组，则；一、当数码组只含一个值，为，共得个值；二、当数码组恰含二个值，．、数码组为型，则任取三个数码皆可构成三角形，对于每个，可取个值，则数码组个数为，对于每组，有种占位方式，于是这种有个．、数码组为型，，据构成三角形条件，有，的取值123456789中的个数共得个数码组，对于每组，有种占位方式，于是这种有个．、数码组为型，，据构成三角形条件，有，同上得个数码组，对于每组，两个有种占位方式，于是这种有个．以上共计个．三、当数码组恰含三个值，．6、数码组为型，据构成三角形条件，则有，这种有组，每组中有种占位方式，于是这种有个．、数码组为型，，此条件等价

34、于中取三个不同的数构成三角形的方法数，有组，每组中有种占位方式，于是这种有个．、数码组为型，，