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《全国高中数学联赛模拟训练题十套 051》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、77中等数学数学奥林匹克高中训练题（!"）第一试（.）+,-"（/）+,-"（0）+!-"（1）+!-"一、选择题（每小题#分，共$#分）,,7二、填空题（每小题8分，共!7分）"%已知集合!&｛"!"&’()#!，#"!｝，$&77$"%函数*&)*+"·’()"6)*+"·’()"（,%-$）!!｛"!"&)*+，%"!｝%则!与$的关系（2’"’）的最大值是%#,是（）%,%设"、*""%若,"，"，*-"依次成等差数列，（.）!#$（/）!&$且*6$，!"6"!6!"-"!，’()（9:’’()"）依次成
2、等（0）!$$（1）!%$&&比数列，则（"6"）（*6"）的值是%,22，且’&’’与$%在"，,，$，7，!的所有排列&"，&,，&$，&7，&!,%已知&&&"%则(&4(5’’()"!3&中，满足&，&，&，&的排列"’&,,(&$$’&77(&!)&4(5’)*+’的大小关系是（）%&"，&,，&$，&7，&!共有种%&（.）(’)（/）(&)（0）(()7%设&#表示与+#（#"#）最接近的整数%则（1）不能确定"6"6"6⋯6"的值是%&"&,&$&,22"$%设某等差数列的首项为&（&)2），第二项
3、为!%设&、’是两个正数，且&(’，点,、-在椭’%则这个数列中有一项为2的充要条件是（）%,,圆"6*&"上%若连结点(（-&，2）与-的直线（.）&-’是正整数（/）&6’是正整数,,&’（0）’是正整数（1）&是正整数平行于直线1,，且与*轴交于点.，1为坐标原点，&-’&-’,,则!(-!·!(.!&%"*,7%已知双曲线,-,&"（&(2，’(2）的右焦!1,!&’点为$，右准线为+，一直线交双曲线两支于,、-#%在坐标平面上画出#$条直线：*&’，*&+$"两点，交+于.%则（）%6,’，*&-+$"6
4、,’，其中’&-"2，-8，-;，⋯，（.）*,$.(*-$.;，8，"2，这些直线将平面切成若干个等边三角形%其（/）*,$.’*-$.中边长为,的等边三角形的个数是%+$（0）*,$.&*-$.三（、,2分）求证：存在无穷多个这样的数列，它（1）*,$.与*-$.的大小不确定们的各项都是不同的自然数，且每个数列的前2项!%在复平面上，()/的顶点(、)、/所对应之和能被2整除%的复数分别为$6,*、$*、,-*，动点,对应的复数四（、,2分）三棱锥,-()/底面三边长为&、为0%若关于0的方程!0!,6!·06
5、!·06"&2表示’、3，其对棱长分别为&<、’<、3<%求证：以&&<、’’<、()/的外接圆，其中!、"为已知的复数，则!6"33<为底面三边长，以’<3<、3<&<、&<’<长为其相应对棱的值是（）%可构成一个新的三棱锥，且其体积是原三棱锥,-（.）76*（/）7-*（0）-76*（1）-7-*()/体积的&<’<3<倍%#%三个圆柱的侧面两两相切，且它们的轴也两五（、,2分）已知实数&、’、3满足’,-&3’2，且两互相垂直%如果每个圆柱底面半径都是"，那么，由方程&（45"）,,6,’（45"·45*）6
6、3（45*）&"所与这三个圆柱侧面都相切的最小球的半径是万方数据表示的曲线过点（"2，"）%求证：对于这条曲线上的（）%"2#(("年第3期3’任意一点!（"、#），成立着不等式3（&7）&""如图#，分别作!"$%（"#）"&##!$%!&!$%!&!!8&2、338&2，垂第二试足分别为!8、38，由一（、’(分）如图"，在相似三角形的性质，得’()中，("、)"分别’!4’’!!8’*&是’(、’)延长线上的’43’’338’又由双曲线的第点，*为(的中点，"")"二定义，得连结’*交’()外接"’!1’’3
7、1’图#圆于*&求证：’(·’(")*.*&’!!8’’338’’)·’)"*#’*·’*"&则’!4’’!1’图"*&二（、’(分）已知实数’43’’31’故14平分(!13&+满足：有且仅有一个正方形，其四个顶点均在曲线#*"+’（&7）&)+"上&试求这个正方形的面积&三（、’(分）设,（"）*$"#易知’’(’*’’)’，且’(&’)，则’()为)&")%为实系数二次三项式&如果对一切整数"，,（"）都是完全平方等腰直角三角形，其外接圆方程为数，求证：存在自然数-及整数.，使’5!（")0）’*!’，#即［
8、5!（")0）］·［5!（")0）］*’，,（"）*（-").）&亦即’5’#参考答案!（")0）5!（")0）5!+*(，与’5’#第一试)!·5)!·5)"*(比较，得一、"（&,）&!*!（")0）*!")0，"*!+&因函数"*-.//!和"*/01（#+!+）!的最小故!)"*!3)0&+22（&4）&正周期均为2，则分别取/、+*(、"、#、+、
