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《全国高中数学联赛模拟训练题十套 048》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、-,,%年第%期!$数学奥林匹克高中训练题（!"）%&正四面体,-’.的棱长为%，/是底面第一试,-’的重心，点0在线段./上，且使得一、选择题（每小题#分，共$#分）’,0-’5,6&则.0的长为&%,-$%-&在,-’中，’’’!46，且%&已知!"’()*"（"+%），设!"’-()*!"%,,738,+738-+738’’#$&9)7,+9)7-+9)7’’#，其中$、#为正整数，且（$，#）’%&则则最大内角的度数是&$、%是双曲线1--$+#’（）&$&设%%-22’!的两个（.）$（/）%,-$（0）-,,,（1）-,,
2、%焦点，(是双曲线上任意一点，从%%引-&已知%%、%-为椭圆&的左、右焦点，抛’%%(%-平分线的垂线，垂足为0&则点0物线’的%为顶点，%为焦点，设(为椭圆的轨迹方程是&%-与抛物线的一个交点&如果椭圆&的离心率)!&若,-’是钝角三角形，则满足"(%，则)的值是（）&:;99)7（738,）+:;99)7（738-）+:;99)7（738’）%"’)"(%-"的取值范围是&#-#$（.）（/）-2#$（0）（1）-2#-4&如果<:81%·<:81-·⋯·<:81-,,,’-$#4%，那么7381%·7381-·⋯·7381-,
3、,,的最大值$&已知复数*满足$*+-3*2-*2$3’是&,&则*的模（）&（.）大于%（/）等于%#&已知3（1）’%+1，对于"(!，定-21（0）小于%（1）不能确定义：3（1）’3（1），3（1）’3［3（1）］&如%"+%"!&在棱长为!的正方体内有一个内切果3（1）’3（1），那么3（1）的解析式%$$%%#球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点是&作直线，该直线被球面截在球内的线段的长为三（、-,分）是否存在这样一组正数!、（）&+、4、5，使下列三个不等式同时成立？并证（.（）#-2%）!（/）#-!明你的结论&-
4、!++&4+5，!（0）%!（1）%!（!++）（4+5）&!++45，"!-"（!++）45&!+（4+5）&对于任意的整数"（"$-），满足!’!-"四（、-,分）设$%,，当$变化时，’$：+%，+’++$!的正数!与+的大小关系是-（）&2’-$1为一族抛物线，直线6过原点且交（.）!%+%%（/）+%!%%’$于原点和点,$&又0为1轴上异于原点的任一点，直线0,交’于点,和（0）!%%，,&+&%（1）,&!&%，+%%$$$#&首位数字是%，且恰有两个数字相同的-$&求证：所有的点-$在同一条直线上&四位数共有（）
5、&五、（-,分）对于公差为5（5),）的等（.）-%#个（/）-4-个差数列｛!"｝，求证：数列中不同两项之和仍（0）$-!个（1）!$-个是这个数列中一项的充分且必要条件是，存二、填万方数据空题（每小题5分，共4!分）在整数7$2%，使!%’75&22中等数学#"0-第二试故%#%4’5#""#"%#，即3%#$2%04’5/2#""040一（、!"分）如图#，四边形!"#$内接6（4，3）%#，于圆，!"、$#延74%0，3%#$长线交于%，!$、故4)3%-$0（$8）$"#延长线交于&’&#&&，’为圆上任一由5%&’&0&知
6、，椭圆%的左准线与抛物点，’%、’&分别线#的准线重合$交圆于(、)$若对由题设知，抛物线#的准线方程为-%,-6，角线!#与"$相0椭圆%的左准线为-%,/，其中/、6分别为椭交于*$求证：(、图#6圆的长半轴和半焦距$*、)三点共线$0则,/%,-6$二、（!"分）设+%&’(!)*(*+!，6!!6’--.故5%%$,（-）%（-,+）（-,+）（-,+）（-,/-/）$求证：,（-）为一整系数多项式，且-（$9）$+,（-）不能分解成两个至少为一次的整系数原方程可化为7!%07)-*$-7)0*多项式之积$设7%/)8*（/、
7、8(!），则三（、!"分）设%%｛#，0，-，⋯，0""｝，.00!0/)（08)-）*2/)（08)-）&7&%%%｛/#，/0，/-，⋯，/#""｝!%，且.具有下列-/)（-8)0）*’//0)（-8)0）0两条性质：2（/0)80）)#08)/%$"’00）)#08)2（#）对任何#"0#1"#""，恒有//（/)80)/1若/00!)8)#，则式"左边%&7&)#，而右边$0"#；##，故式"不成立$（0）/⋯)/#)/0)/-)#""%#""1"$若/00!)8##，则式"左边%&7&##，而右边试证明：.中奇数的个数是2
8、的倍数，)#，故式"也不成立$且.中所有数的平方和为定值$于是，只有/0)80%#，即&7&%#$2（$9）$如图0，9、:是参考答案正方体中两条互为异面直线的棱的中第一试点，直线9:与内切球;的表面相交于一、#（$3）
