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1、第3讲集合的概念与运算?1.集合的概念?2.集合之间的关系?3.集合的运算?4.文氏图、容斥原理*表示不要求，※表示要求自学lisanshuxueouc2011@163.com/lisanshuxue@ouc1集合论(settheory)十九世纪数学最伟大成就之一集合论体系朴素(naive)集合论公理(axiomatic)集合论创始人康托(Cantor)GeorgFerdinandPhilipCantor1845~1918德国数学家,集合论创始人.lisanshuxueouc2011@163.com/li
2、sanshuxue@ouc2集合结构离散数学的大部分内容是研究离散结构，表现离散对象。很多重要的离散结构是用集合来构造的，即对象的联合。例如组合，计数，关系，用来表现关系的序偶集合，图，结点和联结结点的边的集合，用来模拟计算机的有限状态机等。lisanshuxueouc2011@163.com/lisanshuxue@ouc3集合论的起源与发展集合论(SetTheory)是现代数学的基础．它的起源可追溯到16世纪末，主要是对数集进行卓有成效的研究．19世纪70年代德国数学家康托尔(G.Cantor)在无穷
3、序列和分析的有关课题的理论研究中创立了集合论．康托尔对具有任意特性的无穷集合进入了深入的探讨，提出了关于基数、序数、超穷数和良序集等理论，奠定了集合论的深厚基础．因此，康托尔被誉为集合论的创始人．lisanshuxueouc2011@163.com/lisanshuxue@ouc4康托尔的基本理论康托尔集合论（朴素集合论）中的许多证明均能从三个公理得出．这三个公理是:①外延公理:如果两个集合中各个元素都是相同的，则它们相等．②抽象公理:任给一个性质，都有一个满足该性质的客体所组成的集合．③选择公理:每个集
4、合都有一个选择函数．但是,抽象公理产生了悖论，选择性公理让人困惑.lisanshuxueouc2011@163.com/lisanshuxue@ouc5集合论的起源与发展(罗素悖论)当人们认为集合论足够严谨时,在本世纪初,出现了许多悖论,如著名的罗素悖论(即理发师悖论),有力冲击了或者说动摇了集合论的发展．罗素悖论：由“不属于该集合的所有客体组成集合”会导出矛盾.论证把抽象公理符号化为：(y)(x)(x∈y(x))其中,(x)是不以y为自由变元的公式.把(x)取为“x不为y的成员”,即(x)
5、=(x∈y).则罗素悖论符号化为(y)(x)(x∈y(x∈y))取x＝y，可得(y)(y)(y∈y(y∈y))lisanshuxueouc2011@163.com/lisanshuxue@ouc6集合论的起源与发展(公理化体系)许多数学家哲学家为克服这些矛盾而建立了各种公理化集合论体系(“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来”)，其中以20世纪初、中期的ZFS(E.Zermelo,A.Fraenkel,T.Skol
6、em)和NBG(VonNeurnann,P.Bernavs,K.Gödel)公理化体系最为流行.到20世纪60年代，P.L.Cohen发明了强制方法而得到了关于连续统与选择公理的独立性成果，而后的研究结果推陈出新，大量涌现．lisanshuxueouc2011@163.com/lisanshuxue@ouc7集合论的起源与发展（续）在同一时代，美国数学家L.A.Zadeh提出了Fuzzy集理论,以及20世纪80年代波兰数学家Z.Pawlak发表了Rough集理论，这两种理论区别于以往的集合论，是一种新的模
7、糊集理论，受到了学术界的重视和青睐，取得了喜人成果．还有多位著名学者也为集合论的发展作出了重要贡献．在此基础上，逐步形成了公理化集合论和抽象集合论，使该学科成为数学中发展最为迅速的一个分支。集合论观点已渗透到古典分析、泛函、概率、函数论以及信息论、排队论等现代数学各个领域。lisanshuxueouc2011@163.com/lisanshuxue@ouc8集合(set)集合：不能精确定义。一些对象的整体就构成集合，这些对象称为元素(element)或成员(member)用大写英文字母A,B,C,…表示集
8、合用小写英文字母a,b,c,…表示元素a∈A：表示a是A的元素，读作“a属于A”a∉A：表示a不是A的元素，读作“a不属于A”lisanshuxueouc2011@163.com/lisanshuxue@ouc9集合的表示列举法描述法特征函数法lisanshuxueouc2011@163.com/lisanshuxue@ouc10列举法(roster)列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分开，然后用花括号括起来，例如A={a,
