数学成才之路必修二

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1、4．1.2圆的一般方程1．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0当且仅当时表示圆，其圆心为，半径为.此方程称为圆的一般方程．若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cx2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆则应满足：.2．已知圆的方程为x2＋y2＋6x＋4y＋12＝0，则圆心为，半径为.3．方程(x－1)2＋(y＋1)2＝0表示．D2＋E2－4F>0B＝0，A＝C≠0，D2＋E2－4AF>0(－3，－2)r＝1一个点(1，－1)4．如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是()[答案]B[解析]∵方程表示圆，本节学习重点

2、：由圆的一般方程求圆心和半径及一般二元二次方程表示圆的条件．本节学习难点：据所给条件，求圆的方程．圆的方程两种形式的选择：与圆心、半径有直接关系时用标准形式；无直接关系(如圆经过若干定点)选用一般式．点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的位置关系是：[例1]将下列圆的方程化为标准方程，并求出圆心和半径．(1)x2＋y2－2x＋4y＋4＝0.(2)2x2＋2y2＋8x－12y＋23＝0.[解析](1)配方化为：(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心(1，－2)，半径r＝1.已知方程x

3、2＋y2－2(m－1)x－4my＋6m2－4m＋1＝0表示圆．(1)m的取值范围为________；(2)圆心的轨迹方程为________．[答案](1)(0,2)(2)2x－y＋2＝0(－10，∴0

4、定系数法求方程，也可利用弦的中垂线过圆心，先确定圆心，再求圆的半径．[解析](1)解法1：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解法3：线段AB中垂线的方程为2x＋y＋4＝0，它与直线x－2y－3＝0的交点(－1，－2)为圆心，由两点间距离得r2＝10，∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.(2)解法1：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(*)把A、B、C三点坐标代入方程(*)得解法2：线段AB的中垂线方程为x＝1，线段AC的中垂线方程为x＋y＝0总结评述：1.第(1)题中，容易发现，利用圆的性

5、质的解法3比用待定系数法的解法1和解法2计算量小，充分利用圆的性质可简化解题过程．2．用待定系数法求圆的方程时，①如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，求出a、b、r即可．②如果给出圆上三个点坐标或已知条件与圆心或半径都无直接关系，一般采用一般方程，求出D、E、F即可．过三点A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圆的方程为________．[答案]x2＋y2＋6x－2y－15＝0[解析]设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵三点A、B、C在

6、圆上，[例3]自圆x2＋y2＝4上的点A(2,0)引此圆的弦AB，求弦AB的中点轨迹方程．∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝1.当A、B重合时，P与A点重合，不合题意，∴所求轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2)．[点评]如果动点P与Q满足某种关系，P在已知曲线C上运动，求Q点的轨迹方程，可设Q(x，y)结合所给条件，将P点坐标(x′，y′)用x、y表示出来．利用P在C上，将P点坐标代入C的方程，即得x、y满足的关系式．如图所示，经过圆x2＋y2＝4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，线段PQ中

7、点的轨迹方程为________．[答案]x2＋4y2＝4[解析]设M(x，y)，∵PQ⊥x轴，且M为PQ的中点，∴P(x,2y)．∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴x2＋4y2＝4为所求的轨迹方程.[例4]自点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线，则切线长等于()①点P(x0，y0)在圆C外，圆C方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则由P引圆C的切线长为__________．②点P(x0，y0)在⊙C外，圆C方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则由P点引圆C的切线长为_____

8、_____．一、选择题1．(08·广东文)经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是()A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0D．x－y－1＝0[答案]C[解析]∵所求直线过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C(－1，0)，且斜率为1，∴所求直线方程为x－y＋1＝0.2．若方程x2＋y2＋(λ