数学 成才之路必修二2章末

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1、2章末一、选择题1．若有平面α与β，且α∩β＝l，α⊥β，P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题为(　　)A．过点P且垂直于α的直线平行于βB．过点P且垂直于l的平面垂直于βC．过点P且垂直于β的直线在α内D．过点P且垂直于l的直线在α内[答案]　D[解析]　如图(1)在l上取点Q，过Q在平面β内作b⊥l可知，b⊥α，又a⊥α，∴a∥b，∵p∉l上，∴a⊄β，∴a∥β，∴A正确；如图(2)，∵γ⊥l，l⊂β，∴β⊥γ，∴B对；如图(3)由二面垂直的性质定理知C正确；如图(4)，过P作PQ⊥l，则PQ⊥β，过Q作QR⊥l，在QR上任取一点R，连PR则PR⊥l.显然不满足PR⊂α.2．对于直线m、n

2、和平面α，下列命题中的真命题是(　　)A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n[答案]　C[解析]　如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α或n与α相交，故A、B均不对．对于命题C，若不正确，即m不平行于n，则由m、n共面条件知m与n必相交，而m⊂α，则n一定不平行于α，这与已知n∥α矛盾，故假设不成立．∴此命题正确．对于选项D，若m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n或m与n相交且m与n确定的平面与平面α平行．3．在下列条件中

3、，可判断平面α与β平行的是(　　)A．α、β都垂直于平面γB．α内存在不共线的三点到β的距离相等C．l、m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β[答案]　D[解析]　A选项中α、β的位置不确定．B选项中α、β可能是相交的．C选项中，增加条件l与m相交，则有α∥β.4．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是(　　)A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°[答案]　D5．关于直线a、b、l及平面M、N，下列命题中正确的是(　　)A．若a∥M，b∥M，则a∥bB．

4、若a∥M，b⊥a，则b⊥MC．若a⊂M，b⊂M，且l⊥a，l⊥b，则l⊥MD．若a⊥M，a∥N，则M⊥N[答案]　D[解析]　A选项中，若a∥M，b∥M，则有a∥b或a与b相交或a与b异面．B选项中，b可能在M内，b可能与M平行，b可能与M相交．C选项中须增加a与b相交，则l⊥M.D选项证明如下：∵a∥N，过a作平面α与N交于c，则c∥a，∴c⊥M.故M⊥N.6．等边三角形ABC的边长为4，M、N分别为AB、AC的中点，沿MN将△AMN折起，使得面AMN与面MNCB所成的二面角为30°，则四棱锥A－MNCB的体积为(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D．3[答案]　A[解析]　在平面图形中如

5、图(1)，过A作AL使AL⊥BC，AL交MN于K，则AK⊥MN，KL⊥MN.(1)　　　　　　　　　　(2)所以图(2)中∠AKL＝30°.则四棱锥A－MNBC的高h＝AK·sin30°＝，S四边形BCNM＝×＝3，VA－MNBC＝·3×＝.7．(2010·安徽理，8)一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为(　　)A．280B．292C．360D．372[答案]　C[解析]　由三视图知该几何体是两个长方体的组合体，上面的长方体的表面积为6×8×2＋8×2×2＋2×2＝132.下面的长方体的表面积为10×8×2＋10×2×2＋8×2×2－2×2＝228.故表面积为132＋228＝360.选C

6、.8．对于平面α与共面的直线m，n，下列命题中，真命题是(　　)A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊂α，n∥α，则m∥nD．若m，n与α所成角相等，则m∥n[答案]　C[解析]　对于A，可能n⊂α；对于B，m与n所在的平面β∥α成立时，∴可能m与n相交；对于D，当m与n相交时，可以与α所成角相等如图．二、填空题9．在正四棱锥P－ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的正切值等于________．[答案]　2[解析]　如图所示，设底边长为a，则OE＝，∠PEO＝60°，∴PE＝a在Rt△PAE中，tan∠PAE＝＝2.10．

7、对于四面体ABCD，给出下列四个命题①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD其中真命题的序号是______(写出所有真命题的序号)．[答案]　①④[解析]　对于命题①，取BC的中点E.如图1，连接AE、DE，则BC⊥AE，BC⊥DE，∴BC⊥AD.对于命题④过A向平面BCD做垂线