近代概率论基础第一章概率空间

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1、近代概率论基础任课教师:范胜君E-mail:f_s_j@126.com李贤平编《概率论基础》高教出版社2005.教材一、内容与学时第一章概率空间第二章条件概率与统计独立性第三章随机变量与分布函数第四章数字特征与特征函数第五章极限定理共32学时（5学时）（5学时）（6学时）（8学时）（8学时）二、参考书目《概率论与数理统计教程》高等教育出版社1995.2.华东师范大学魏宗舒等编《概率论与数理统计》高等教育出版社1997.1.浙江大学盛骤谢式千潘承毅编《概率论基础》高等教育出版社2005.3.复旦大学李贤平编按照由浅到深或由简到难的顺序排列4.南开大学扬振明编《概率论》科学出

2、版社2004.5.北京师范大学严士健王隽骧刘秀芳著《概率论基础》科学出版社1999.6.复旦大学汪嘉冈编著《现代概率论基础》复旦大学出版社1988.三、说明本课程是在工科的《概率论与数理统计》基础上对数学专业的本科生开设的一门课程，旨在对工科概率论中的一些概念和理论加以严格化和进一步地深化，因而教材中有很多内容我们都是一带而过，有的甚至根本不讲。有时还补充一些新内容。希望通过本课程的学习，能使大家掌握近代概率论的一些基本思想、基本理论和基本方法，提高数学素质与科学思维能力，为进一步学习《随机过程》等后继课程打下坚实的基础。四、常用的一些记号2、从n个元素中取出r个元素，不

3、考虑其顺序，其总数为1、从n个元素中取出r个(r≤n)进行排列，其总数为其中一般地，用记正整数，用记实数。且有3、将排列公式推广，定义及则若，则由泰勒公式得：因此因为利用幂级数的乘法，计算的幂级数展开式中幂前面的系数知：特别地或4、第一章概率空间第一节古典概型中的几个经典问题第三节概率空间第二节几何概型第一节古典概型中的几个经典问题一、生日问题二、抽签问题三、摸球问题四、德.梅尔问题一、生日问题（又称为分房问题）例将n个球随机地放入N(N>n)个盒子中，设各个球放入每个盒子是等可能的，求：每个盒子至多有一个球的概率。解将n个球放入N个盒子，每一种方法是一个基本事件直接放球

4、先选好格子，再放球或例(生日问题)设每个人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于,那么随机选取n(≤365)人。(1)他们的生日各不相同的概率为多少？(2)n个人中至少有两个人生日相同的概率为多少？解(1)设A=“n个人的生日各不相同”(2)设B=“n个人中至少有两个人生日相同”当n等于64时，在64人的班级中，B发生的概率接近于1，即B几乎总是会出现。二、抽签问题例袋中有a只黑球和b只白球，k个人把球随机的一只只摸出来，求第k个人摸出的是黑球的概率。解将k个人取球的每一种取法看成一个样本点在体育比赛中进行抽签，对各队的机会均等，与抽签的先后次序无关。这说明：

5、三、摸球问题例如果某批产品中有a件次品b件好品，我们采用放回和不放回取样方式从中抽n件产品，问正好有k件是次品的概率各是多少？【放回抽样】把a+b件产品进行编号，有放回的抽n次，把可能的重复排列全体作为样本点。这即为二项分布中随机变量取值为k的概率。从a+b件产品中取出n件产品的可能组合全体作为样本点。这即为超几何分布中随机变量取值为k的概率。【不放回抽样】注意：当产品总数很大而抽样数不大时，采用有放回抽样与采用不放回抽样，差别不大。四、德.梅尔问题例一颗骰子投4次至少得到一个六点与两颗骰子投24次至少得到一个双六，这两个事件中哪一件有更多的机会遇到？因而解：以A表示一颗

6、骰子投4次至少得到一个六点这一事件，则表示投一颗骰子4次没有出现六点，故这个问题在概率论发展史上颇有名气，因为它是德梅尔向巴斯卡提出的问题之一。正是这些问题导致了巴斯卡的研究和他与费马的著名通信。他们的研究标志着概率论的诞生。同理，若以B表示两颗骰子投24次至少得到一个双六，则因而，这两件事情中，前面一件事情更容易遇到。第二节几何概型即：若以记“在区域中随机的取一点，而该点落在区域g中”这一事件，则其概率定义为：此时，等可能性可以通过下列方式来赋予意义：落在某区域g的概率与区域的“几何度量”（长度、面积、体积等等）成正比并且与其位置和形状无关。这种区域的度量统称为“勒贝格

7、（Lebesgue）测度”。有时，试验的可能结果是某区域中的一个点，这个区域可以是一维的，也可以是二维的，还可以是n维的，这时不管是可能结果全体，还是我们感兴趣的结果都是无限的。例1（会面问题）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，这时就可离去，试求这两人能会面的概率解以x，y分别表示两人到达的时刻，则会面的充要条件为可能的结果全体是边长为60的正方形中的点，能会面的点的区域用阴影标出，故所求的概率为60202060xy0实际上，我们假定了两人到达的时间在7点到8点之间的机会均等且互不影响。例2在圆周上任取三