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《一类生物种群增长的数学模型解的稳定性分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、26/27长春工程学院学报(自然科学版)2006年第7卷第3期ISSN10092898482285J.ChangchunInst.Tech.(Nat.Sci.Edi.),2006,Vol.7,No.3CN2221323/N一类生物种群增长的数学模型解的稳定性分析张丽娟,孙福杰(白城师范学院数学系,白城137000)摘要:对种群服从Gompertz增长建立了的数学模(Prey),种群乙为捕食者(Predator),二者共处组成食型,分析和讨论了平衡点解的存在性、稳定性。并从饵—捕食者系统。近一百年来许多数学家和生态学生态学的
2、角度阐述了我国像渔业、林业这样的再生家对这一系统进行深入的研究,建立了一系列数学资源,一定要注意适度开发,应该在持续稳产的前提模型。下追求产量或效益的最优化,实现生物资源的可持早在第一次世界大战期间著名的意大利数学家续开发与利用。Volterra建立了1个最简单的数学模型,为人们研究关键词:Gompertz数学模型;平衡点;稳定性生物种群的动态发展奠定了基础,即Volterra食饵中图分类号:O14114文献标识码:A—捕食者模型。文章编号:100928984(2006)0320082204食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)在
3、时刻t的数量分别记作x(t),y(t)因为大海中资源丰富,假设当食饵独立生存时以指数规律增长,(相对)增长率为1问题的提出r,即Ûx(t)=rx而捕食者的存在使食饵的增长率减小,设减小的程度与捕食者成正比,可持续发展是一项基本国策,对于像渔业、林业于是x(t)满足方程:这样的再生资源,一定要注意适度开发,不能为了一Ûx(t)=x(r-ay)时的高产去“竭泽而渔”,应该在持续稳产的前提下比例系数a反映捕食者掠取食饵的能力。追求产量或效益的最优化,实现生物资源的可持续捕食者离开食饵无法生存,设它独自存在时死开发与利用。这一问题
4、是生物学家、数学家和经济亡率为d,即Ûy(t)=-dy。而食饵的存在为捕食者管理学家都在关心的问题。对于这方面的工作许多提供了食物,相当于使捕食者的死亡率降低,且促使学者进行了广泛而深入的研究。其增长,这种作用与食饵数量成正比,于是y(t)满当某个自然环境中只有一种生物群体生存时,足:人们常用logistic模型和Gomperz模型来描述这个种Ûy(t)=y(-d+bx)群数量的演变规律比例系数b反映食饵对捕食者的供养能力。xxÛx(t)=rx(1-N)Ûx(t)=rxlnN这2个方程反映的是在自然环境中食饵(食用式中:r
5、———相对增长率;鱼)和捕食者(鳖鱼)之间依存和制约的关系,这里N———环境资源容许的种群的最大数量。没有考虑种群自身的阻滞增长作用。大家知道,自然环境中不可能只有1个种群而同样人类和生物种群之间也相互制约,人类的是有2个或2个以上种群生存,不同种群之间还存在经济活动和捕获行为对生物种群的发展也有严重影着既有相互依存、又相互制约的生存方式:种群甲靠响甚至导致生物种群的灭绝。为了更好地刻划人类丰富的自然资源生长,而种群乙靠捕食种群甲为生,开发行为与生物种群发展的相互作用,1969年数学食用鱼和鲨鱼、美洲兔和山猫、落叶松和蚜虫
6、等都是家smith提出了关于渔业开发的自反馈模型这种生存方式的典型.生态学上种群甲为食饵NNÛ(t)=rN(1-)-qENKÛE(t)=k(pqEN-cE)收稿日期:2006-03-23式中:E(t)———t时刻开发生物资源的捕获努力量;作者简介:张丽娟(1964,4-),女(汉),白城,副教授主要研究常微分方程应用及数值计算。p———生物资源的市场价格;张丽娟,等:一类生物种群增长的数学模型解的稳定性分析83c———单位捕获努力量成本;2基本理论q———捕获能力系数。众所周知,在市场经济条件下商品的价格是受二阶方程的平衡
7、点和稳定性。供求关系影响的,商品价格与商品供应量的函数关二阶方程可用2个一阶方程表示为b系是p(s)=,a是消费者对商品需求程度的Ûx1(t)=f(x1,x2)a+s(2)量,b是商品最大价格的量度。Ûx2(t)=g(x1,x2)在市场经济条件下的生物资源开发的自反馈模右端不显含有t是自治方程,代数方程组型f(x1,x2)=033的实根x1=x1,x2=x2称为方Ng(x1,x2)=0NÛ=rN(1-)-qENK33程的平衡点记P0(x1,x2)bÛE=k(qEN-cE)如果存在某个邻域,使方程的解x1(t),x2(t)a
8、+qEN从这个邻域内的某个x1(0)=0,x2(0)=0出发,满上面研究的模型都是logistic模型足xÛx(t)=rx(1-)33Nlimx1(t)=x1,limx2(t)=x2则称平衡点t→∞t→∞但现实世界中许多生物的增长并不满足logistic3333P0(x1,x2)是稳定的,否则称P0(x
