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《一类具有种群Logistic增长的SIR传染病模型的稳定性.pdf》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第30卷第1期贵州师范大学学报(自然科学版)Vol.30.No.12012年1月JournalofGuizhouNormalUniversity(NaturalSciences)Jan2012文章编号:1004—5570(2012)01-0064-06一类具有种群Logistic增长的SIR传染病模型的稳定性*宫兆刚,蔡江涛,阳志锋(衡阳师范学院数学与计算科学系,湖南衡阳421008)摘要:研究一类具有种群Logistic增长的SIR传染病模型,应用微分方程定性理论,分别得到了该系统无病平衡点、地方病平衡点全局渐近稳定的充分条件,并进行了数值模拟.关键词:传染
2、病模型;Logistic;平衡点;全局稳定性中图分类号:O193文献标识码:AGlobalstabilityofanSIRepidemicmodelwithspeciesLogisticgrowthGONGZhao-gang,CAIJiang-tao,YANGZhi-feng(DepartmentofMathematicsandComputingSciences,HengyangNormalUniversity,Hengyang,Hunan421008,China)Abstract:AnSIRepidemicmodelwithspecieslogisticgr
3、owthisinvestigated.Byusingthequalitativetheoryofordinarydifferentialequations,sufficientconditionsareobtainedfortheglobalasymptoticsta-bilityofeachoffeasibleequilibriumtotheproposedmodel.Also,somenumericalsimulationsarepro-videdtoconfirmouranalyticresults.Keywords:epidemicmodel;logi
4、stic;equilibrium;globalstability口的总量是在不断变化的.在传统的SIS模型中,0引言大多假设人口的总量是常数,这样的假设仅当疾病的传播数度快,流行时间短,环境封闭且忽略出生传染病在人们的生活中时时存在的,利用动力率和死亡率的情况下才是合理的.但是在实际问题学方法来研究传染病模型是非常重要的方法之一,中,人口的总量是在不断变化的.文[3]假设人口[1]并且取得了很好的结果.文[2]研究具有免疫和总数量按Logistic增长,因此易感者人数S(t)也是人口总数变化的SIS模型.在传统的SIS模型中,dSS按Logistic增长,即:
5、=rS(1-).基于上述考大多假设人口的总量是常数,这样的假设仅当疾病dtK的传播数度快,流行时间短.但是在实际问题中,人虑,本文研究的数学模型如下:*收稿日期:2011-09-5基金项目:衡阳师范学院科学基金青年项目(11A31)作者简介:宫兆刚(1978-),男,硕士,讲师,研究方向:生物数学研究,E-mail:gzgfeixue781019@163.64第1期宫兆刚,蔡江涛,阳志锋:一类具有种群Logistic增长的SIR传染病模型的稳定性dSSSI证明令V(t)=S(t)+I(t),则沿系统(2)的解ì=rS(1-)-β+cI,ïdtKS+I的全导数为
6、:ïdISI·SrS2ídt=βS+I-dI-cI-μI,(1)V=rS(1-)-(d+μ)I=rS--(d+ïKKïdRK(r+d+μ)2îdt=μI-dR,μ)I≤-(d+μ)V+4r其中S(t),I(t),R(t)分别表示t时刻易感(d+μ+r)2KlimsupV≤,所以对ε>0,者、感染者、恢复者的数量,r为内禀自然增长率,t→∞4(d+μ)rK为环境容纳量,β为传染率,c为恢复率,d为死T>0,当t>T时,2亡率,μ为移出率,系统中的所有参数均为正值.(d+μ+r)KS(t)<+ε,I(t)<系统(1)的前两个方程不依赖第三个方程,因4(d+μ)
7、r2此仅考虑由系统(1)的前两个方程所构成的系统:(d+μ+r)K+ε.因此系统(3)的一切正解最终4(d+μ)rdSSSI=rS(1-)-β+cI,dtKS+I有界.(2){dISI,定理2当β<d+c+μ时,无病平衡点E1(K,0)=β-dI-cI-μIdtS+I是局部渐近稳定的.对系统(2)作变换dt=K(S+I)dτ,仍记dτ为dt,证明系统(3)在E1(K,0)处的Jacobi矩阵为:则(2)化为:22-rKK(c-β)J1=[]ìdS0K2(β-d-c-μ)=rS(S+I)(K-S)-βKSI+cKI(S+I)ïdt2ï则系统(3)所对应的特征方程
8、为:(λ+rK)[λ-í=P(S,I)
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