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1、第40卷第14期数学的实践与认识VO140,No.142010年7月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYJul.,2010一类具有不同感染率的SIR模型的稳定性分析张梅1,2,张凤琴2(1.中北大学理学院,山西太原030051)(2.运城学院应用数学系,山西运城044000)摘型要:建立了一类具有不同感染率且出生和死亡具有密度制约的SIR传染病模应用极限系统理论以及Liapunov稳定性定理得到该系统平衡点的稳定性.关键词:传染病;基本再生数;稳定性;平衡点1引言HW的传播模式是基于HWRNA
2、的含量发展而来.感染初期(急性感染期)也就是染病1一2周血浆和血清中的Hlv-1RNA的含量会急剧的升高,之后人体将产生免疫响应{-一2!.这时,HlvRNA含量就会下降到不同的数量级别并在以后几年内基本不变ls],接着进入慢性期.病毒携带者的病毒含量不同,病毒含量越高就会加快成为A功S的进程,病毒含量低的变为AIDs的进程比较慢或者基本处于稳定不变的状态4=一5].由于易感者个体的差异,他们被不同的病毒携带者所感染,且不同病毒携带者病情的发展也有所不同,因此把病毒携带者分成两类1和几.易感者分别以概率pl,pZ沙1
3、+p:=l)进入1,几类.然而,大多数文献(如文献[0])没有考虑人口统计学的因素.在本文,考虑到人口统计学的因素,建立了一类出生和死亡具有密度制约的SIR模型.设总人口符合Logistie方程:夕(,-一N(1一娄)这里r是内察增长率,K是种群的环境容纳量.如果密度制约的影响还分别作用在了出生率和死亡率上,则单位个体出生率的密度制约为e等,单位个体死亡率密度制约为1一0等,其中0三0三1.因此可建立如下模型:-(忿卜("一"等)!一("115+!"s)一}以+(卜")等}s,1()-一,1(口11+*")s一1一{
4、d+(卜")等}:(1)!()"一,2(口11+*!)s一"一[d+(卜/)签}"*()"一1"+一"一[d+(卜/)等8R这里b是无密度制约的出生率,d是无密度制约的死亡率,N二S+I;+几+R,s(t)表示t时刻的易感群体的个体数量,R(t)表示t时刻移出类的个体数量.庆,v-分别表示几的传染率收稿B期:201压o冬20资助项目:山西省自然科学基金(Zo90nos-s);山西省重点学科资助项目14期张梅,等:一类具有不同感染率的SIR模型的稳定性分析233系数和恢复率系数"二1,2).本文中我们假定新生儿均为易感
5、者,并且不考虑因病死亡.2平衡点分析系统(l)与以下系统等价一,1(":1+*")(!一"一!一*卜一1一[己+(卜")等8"一;2(口1"+!)(!一"一"一,一"!一阶(卜0)等{!(2)一l"+#2!一卜+(卜")等}R一rN(卜娄)显然,系统(2)有灭绝平衡点凡二(O,0,0,0),无病平衡点E0=(0,0,0,K),还有一个可能存在的地方性平衡点E.一(片,佗,群}台芳,K).从系统(2)得一片写力口一月qr一一pl[d+(1一e)嚼]pl["2+d+(1一(3),2[",+-+(1一a)等]pZ[vl+d
6、+(1一进一步有K(R0一1)(d+(1一8):)pZ("1+d+(1一8):)K(R0一1)pZ(d+(1一8)r)片=R0(":+d+(1一8),)("1+d+(1一8):)R0(v:+d+(1一8):)K(Ro一1)(d+(1一8)r)p:(":+d+(1一0):)K(R0一1)勿(d+(1一8)r)写(4)R0(vl+d+(1一0):)("2+d+(1一8)r)R0("1+d+(1一8)r)其中K口iPiK热P2R0十~-,,-于~一下二----二丫一(5)"1+d+(1一8)rUZ+以+Ll一口)r因此,当
7、且仅当Ro>1系统存在唯一的一个地方性平衡点E*.定理2.1在区域Gl一{(1,几,R,N)}0三N三K,0三几三K,葱=1,2,0丛R三K}内,若R0>1,无病平衡点E0是不稳定的;若Ro<1,无病平衡点E0局部渐近稳定.而灭绝平衡点Ex总是不稳定的,证明系统(2)在凡点处的特征方程为:(A+(d+vl))(人+(d+"2))(入+d)(入一:)=0显然凡是不稳定的.系统(2)在E0处的特征方程为:(入+r)(入+("l+d+(l一0)r))(入2+p入+Q)=o显然人=一r,入=一(vl+d+(1一0)均为负,为
8、此只考虑(妒+尸入+Q)=0,其中p=("1+d+(1一0):)一pi口IK+(":+d+(1一8)r)一pZ热KQ=("l+d+(l一口)r)("2+d+(1一口)r)(l一凡)如果R0<1,即K几PiK儿勿十-甲-气尸甲-丁丁---二了-<1";+d+(1一夕)rUZ+d+Ll一口)r得从风K<叭+d+(1一0):,葱=1,2.因此,尸>0
