资源描述：
《一类SIR传染病模型的定态分歧.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第26卷第12期乐山师范学院学报Vol．26,No．122011年12月JournalofLeshanTeachersCollegeDec．2011一类SIR传染病模型的定态分歧李军燕，张毅然（四川大学数学学院，四川成都610064）摘要：文章研究了一类传染病模型的定态分歧，通过运用线性全连续场的谱理论和Lyapunov-Schmidt约化方法，借助一阶近似和二阶近似，在一定的条件下得到了方程在所有临界参数处的分歧。关键词：传染病模型；Lyapunov-Schmidt约化；谱理论；分歧中图分类号：O175.2文献标识
2、码：A文章编号：1009-8666（2011）12-0009-031引言λ为控制参数，研究（1）在所有临界参数处的定态分歧，即下面方程的定态分歧：分歧是自然界中的普遍现象，它描述的是一个稳定的0△S-μS-λSI+μ=0，000状态当某种参数超过一个临界值时就会跃迁到另一种运00△I-（μ+γ）I+λSI=0，奂（2）动状态，Rabinowitz等人对分歧做了一些研究。马和汪创立000坠S坠I0
3、坠萃=
4、坠萃=0.了一套新的分歧理论用于研究非线性演化方程的稳定性0坠ν坠ν0与分歧，其中Lyapunov-Schmidt
5、方法的介绍与传统教科书中略有不同，本文利用这套理论研究下列带扩散项的SIR2准备工作传染病模型的定态分歧：2.1方程的处理00坠S注意到方程（2）有一个平凡解（S，I）T=（1，0）T，故作平0-d1△S=μ-μS-βSI，0坠t0移变换（u，u）T=（S-1，I）T，代入（2）中，则方程（2）转化为：0120坠I00-d2△I=βSI-（μ+γ）I，00坠t（1）0△u1-μu1-λu2-λu1u2=0，0000坠S坠I00
6、坠萃=
7、坠萃=0，00△u-（μ+γ）u+λu+λuu=0，222120坠ν坠ν奂（3）0
8、0000坠u坠u0S（x,0）=覬1，（Ix，0）0.01
9、=2
10、=0.00x∈坠萃x∈坠萃0坠ν坠ν方程中的萃是具有光滑边界的有界区域，ν是坠萃的单位外法向量，S，I分别表示传染病的易感者和显病状的建立如下空间：感染者的密度，R表示永久免疫者，且R=1-S-I，μ为易感X1={（u1，u2）
11、u1，u2∈H（2萃），坠u1
12、x∈坠萃=坠u2
13、x∈坠萃=0}，坠ν坠ν者的出生率，γ为病患者的恢复率，β为控制疾病传染而约X=L（2萃，R2）.束人们活动的接触率。边界条件表示是一个封闭系统，比较符合实际。且有实际意义知，
14、参数μ，γ，β均大于0。定义算子：本文考虑萃=（0，L）奂R1，且d=d=1的情况.我们取β=L=-A+B∶X→X，G∶X→X，12λλ1λ1收稿日期：2011-05-18作者简介：李军燕，四川大学数学学院09级硕士。9其中对所有0＜
15、λ-λ1
16、充分小，是线性同构的。△μ引理2.1[4，9]每一个近似约化方程从λ=λ的非退化1-μu1-λu2-λu1u2k0-Au=△△，Bλu=△△，Gλu=k△△μ2-μ+γu2+λu2λu1u2分歧解都唯一的对应于原方程（3）一个从λ=λk0的非退化[4]分歧解。显然，这样定义的
17、Lλ∶X1→X是全连续场，这样方程（3）就转化为抽象形式：3主要定理及其证明Lλu+G（u，λ）=0.定理2.1在上述的条件中,对方程（2）有以下结论成2.2特征值与特征向量立：设ρk，ψk分别为下面问题的第k+1个特征值和特征向（1）当k0=0时，方程（2）在λ=λ0处出现超临界分歧和量：0次临界分歧，并且有非退化的分歧解：0-△ψk=ρkψk，0++0Tμ+γ（λ-μ-γ）（λ-γ）T0坠ψk（S，I）=（+o（
18、β0（λ）
19、），+o（
20、β0（λ）
21、）.0
22、x∈坠萃=0，λλ20坠ν000（2）当k0≠0时，对每
23、个λk0，方程（2）在λk0处有次临界0+00（
24、β（dx=1.0乙0分歧，并且有两个非退化的分歧，但是没有超临界分歧。00萃k2π21证明有上一节的空间分解，对坌u∈X1，有则ρk满足：0=ρ0＜ρ1＜ρ2＜…，且ρk=，ψ0=，∞L2姨L+++--u=xek0+Σykek+Σykek,k≠kk=0ψ=2coskπx，这样L=-A+B及其共轭算子L*的特0kλλλ姨LL代入Lλu+G（u，λ）=0，得：征值和特征向量如下：∞+++++---βk（+λ）=λ-ρk-（μ+γ），βk（-λ）=-ρk-μ，βk0xek0
25、+Σβkykek+Σβkykek+G（u，λ）=0.k≠kk=00-λψkψ+*+*-*+λ-γ-k分别用（e），（e）（k≠k0），（e）对上式两边做内ek=k△，e=k△，k0kkk0ψk积，可得：++ψkβx+〈G（x+y），（e）*〉=0（4）0k0k0（e+）*=-）*=kk△，（ekkλ△，0ψkψk0++軃軃+*λ-γ00βkyk
