一类恒化器竞争模型共存态的全局分歧.pdf

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1、第30卷第6期工程数学学报vo1．30No．62013年12月CHINESEJOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSDec．2013doi：10．3969／j．issn．1005—3085．2013．06．003文章编号：1005—3085(2013)06—0815—10一类恒化器竞争模型共存态的全局分歧术刘继远，聂华tf陕西师范大学数学与信息科学学院，西安710062)摘要：研究了一类带Ivlev型反应函数的非均匀恒化器竞争模型的全局分歧．利用最大值原理获得了共存解的先验估计，借助于特征值理论、上下解方法得到了共存

2、解存在的必要条件，采用局部分歧理论构造了共存解的局部分支，并运用全局分歧理论证明了共存解的局部分支可延拓为全局分支．结果表明该全局分支连接了模型的两半平凡解分支．从生物学角度看，当两竞争物种的最大生长率满足一定条件时，两物种可以共存．关键词：恒化器；Ivlev反应函数；最大值原理；共存解；全局分歧分类号：AMS(2000135K57中图分类号：O175．26文献标识码：A1引言恒化器模型是微生物学研究中一个非常重要的模型．从二十世纪七十年代起，许多生物数学研究者从实验和理论两方面对该模型进行了研究．近三十年来，对非均匀恒化器竞争模型的研究

3、取得了丰硕的成果[一引．但上述研究工作所讨论的函数均是HollingII型反应函数．目前，人们对带Ivlev型反应函数[。]的非均匀恒化器竞争模型的研究还比较少．据此，本文考虑如下带Ivlev型反应项的n维反应扩散系统st=As-aug1(s)-2(s(1)J赛+z(x)s=()，∈aQ，t>0，【+7()=0，+()=0，∈a，t>0，其中s，，V分别表示营养液和两种竞争微生物的浓度；Q是R”(n1)中具有光滑边界的有界区域；(s)=1一e，at>0为常数，i=1，2；a>0，b>0是最大增长率；7()，h(x)∈C(aQ)且7()，h

4、(x)0，它们在aQ上不恒等于0；Fox∈Q：7()=0)，Fo≠且Fo≠a，h(x)>0，X∈Fo．收稿日期：2012—03—22．作者简介：刘继远(1984年3月生)，男，硕士．研究方向：偏微分方程理论及应用基金项目：国家自然科学基金(11001160)；陕西省科技计划项目(2011JQ1015)．t通讯作者：聂华E-mail：niehua@snnu．edu．cn816工程数学学报第30卷文献[2]讨论了一类具有Michaelis—Menten-Monod型反应项的一维恒化器模型，得到了平衡态系统的局部分歧．文献[5]研究了具有同样反

5、应函数的n维恒化器模型共存解的全局分歧．本文研究带Iv1ev型反应函数的n维恒化器模型共存态的全局分歧．为此，考察(1)的椭圆系统lAs—n91(s)一bvg2(s)=0，∈Q，I△r“+0札夕1(s)=0，∈Q，IAv+bvg：(s)=0，∈Q，一【丽(98+()s=(z)，+()u=0，+()=0，∈U9aQ．钉如琳～，●●-Cl【为使(s)(i：1，2)在点s=0连续可微，可补a充定义(s)为rCC一．a(s)=，rn80，8<0，、沾+0则(s)∈C()．为方便起见，仍记(s)为1(s)．、1，令=s++V，则Z满足一Az=0，∈

6、Q，O二+7(x)z=()，∈aQ．f3)n、＼由线性椭圆方程的性质知，(3)存在惟一解，记为()．由最大值原理知，对任意∈Q，z(x)>0．因此，(2)的平衡态解(s，u，rlJ)满足s+u+v=，∈．将s：—tu一"代入(2)，则有∈Q．∈．∈Q本文主要研究问题(4)正解的全局分支，其内容安排如下：第2节介绍一些预备知识和下节所需的基本引理；第3节采用全局分歧理论研究共存解的全局分歧；第4节总结所得结论，并分析其生物意义．2预备知识设(，lf．II)为具有最大模范数的Banach空间，分别定义c()和为()={∈)：+)=吣∈Q)，_

7、1j2，=()×()．考虑特征值问题△+=0，∈Q，+)=0，∈弧(5)第6期刘继远，聂华：一类恒化器竞争模型共存态的全局分歧817其中q(x)∈()，且q(x)>0，∈．由变分原理[7]知nr，(6)咖且(5)的所有特征值可按升序排列为0<入1(口)<2(q)⋯∞，相应的特征函数为1，2，⋯，其中1>0(X∈)，1(g)是主特征值．而且由文献[8]知，若q(x)qp()，X∈Q，则Ay(q)J(g)，J1；若又有q(x)≠ql()，则J(g)

8、相应的特征函数分别为>0，>0，且可规范化为max~~=1，max~~=1．下面给出问题(4)形如(札，0)的半平凡解的一些重要结论．考虑如下单物种方程Au+aug1(z一)=0，∈Q，+一y