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1、函数项级数典型例题∞sinnx例1证明级数∑22在(−∞+∞,)上一致收敛.n=1nx+∞sinnx111证由于22222≤≤∈,,xn()−∞+∞,≥1，而级数∑2是收敛nxnxn++n=1n的，故由魏尔斯特拉斯判别法可知，原级数在(−∞+∞,)上一致收敛.例2求下列幂级数的收敛区间∞(1)−nn−121x−∞11⎛⎞−xn(1)∑n；(2)∑⎜⎟；n=1(2n+1)3n=1211nx++⎝⎠解(1)此时不能套用定理的结论，而要对该级数用达朗贝尔判别法求其收敛半径.nn23+n(1)−+xn(21)
2、312因lim⋅=x，故收敛半径R=3.nn+−112n−1n∞(2nx+−3)3(1)3∞n−1(1)−3当x=3时，级数为∑，收敛；n=121n+∞n(1)3−当x=−3时，级数为∑，收敛，故所求收敛域为⎡⎤−3,3.n=121n+⎣⎦∞1−x1n(2)设y=，则级数成为∑y，其收敛半径为R=1.1+xn=121n+n∞∞()−11当y=1时，级数∑发散；当y=−1时，级数∑收敛.n=121n+n=121n+1∞ny1故级数∑的收敛区间为[1,1]−，即01≤<>,x0，因此，原级数n=121n+
3、1+x的收敛域为()0,+∞.∞n例3设aaa012,,,?为等差数列，a0≠0，求级数∑axn的收敛域.n=0an+1解由于aan=+=d,lim1，所以R=1，n0n→∞an∞∞nn当x=±1时，级数成为∑()±1,aannlim0≠，因此∑()±1an发散，于是级n→∞n=0n=0∞n数∑axn的收敛域为(－1，1).n=0n∞()x−an−1例4若级数∑()−1在x>0时发散，在x=0处收敛，求常数a.n=1nn−11an+1解记a=−()1，由lim=1知，当xa−<1时，级数收敛.由此得级
4、nnn→∞an数在区间()aa−+1,1内收敛，由题设知，级数收敛区间的右端点a+=10，所以a=−1.∞nx例5求幂级数∑nn()ab>>0,0的收敛域.n=1ab+⎧1cabnn+⎪⎪a,ab≥n+1解由于lim==lim⎨，所以当ab≥时，收敛半径nn++11nn→∞ca→∞+b1n⎪,ab<⎪⎩bR=a，当ab<时，收敛半径R=b，即R=max(ab,).2n∞()−1在x=−R时，当ab≥时，级数化为∑n，由于其一般项不趋向于0，n=1⎛⎞b1+⎜⎟⎝⎠an∞()−1故级数发散；当ab<时，
5、级数化为∑n，其一般项不趋向于0，级数发散.n=1⎛⎞a1+⎜⎟⎝⎠b同样，在x=R时，级数发散，综上所述，所求收敛域为x=−()RR,，其中R=max{ab,}.∞n例6求幂级数∑()21nx+的收敛域，并求其收敛域内的和函数.n−0a23n+n+1解设an=+()21，因lim=lim=1，故原级数的收敛半径r=1.nnn→∞an→∞21+n∞n当x=1时，其通项不趋于零，因此发散，故∑()21nx+的收敛域为n−0∞∞∞nnn(－1,1)，设Sx()=+∑(21n)x，则Sx()=+−∑2(n1
6、)x∑x，由逐项可积性，n−0nn−−00xxx∞∞∞x1Stdt()=+21(n)tdtnn−tdtn+1∫∫∫∑∑=−2∑x∫dt00001−tnn==00n=021xx=−∫dt11−−x0t211+x求导得Sx()=−=,1x∈()−,122()11−−xx1−x()n−12n∞()−1x例7求幂级数∑的和函数.n=1nn(2−1)3n−1nn−1∞()−1y()−12解设y=x，则原级数化为∑，记an=，因n=1nn(2−1)nn(2−1)n−1n∞()−1y∞∞limna=1，故∑的收敛半
7、径r=1，设Sy()==∑∑aynnax2，则nnnn→∞n=1nn(2−1)nn==11dSy()∞21n−=∑2naxn，dxn=12∞∞dSy()22n−n−12n−122=−=∑∑2(21)nnaxn2()−1()x=2dxnn==111+xdSy()x2又因SS′()00==()0，故==dt2arctanx，从而dx∫01+t2xxdSy()2Sx()==∫∫dx2arctanxdx.00dx12因原级数在x=1也收敛，故，SS()1l==im(x)2a∫rctanxdx，x→1−01−2
8、SS()−=1lim+()x=2a∫rctanxdxx→−10∞1例8求级数∑n的和.n=1221()n−∞111n解记a=，因limna=lim=，故∑at的收敛半nnnnn221()n−nn→∞→∞221n−2n=1∞221n−径r=2，从而当x<2，即x<2时收敛，当x<2时，设Sx()=∑axn，n=1则∞∞⎡⎤xx21nn−−′221∞x22n−111Sx'()==∑∑⎢⎥nn=∑n−1==<22,2xnn==11⎣⎦221()n−222n=1
