幂函数的典型例题

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1、经典例题透析类型一、求函数解析式例1.已知幂函数，当时为减函数，则幂函数__________．解析：由于为幂函数，所以，解得，或．当时，，在上为减函数；当时，，在上为常数函数，不合题意，舍去．故所求幂函数为．总结升华：求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是关键．类型二、比较幂函数值大小例2.比较下列各组数的大小.(1)与；(2)与.解:(1)由于幂函数(x>0)单调递减且，∴.(2)由于这个幂函数是奇函数.∴f(-x)=-f(x)因此，，，而(x>0)单调递减，且，∴.即.总结升华：(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个

2、幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x<0上幂函数的单调性解决问题也是可以的.举一反三【变式一】比较，，的大小.思路点拨：先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小.解：在上单调递增，且，.作出函数与在第一象限内的图象，易知.4故.例3.已知幂函数，，，在第一象限内的图象分别是C1，C2，C3，C4，(如图)，则n1，n2，n3，n4，0，1的大小关系?解:应为n1

3、函数性质的正确把握主要来源于对图象的正确处理，而幂函数的图象，最重要的是搞清第一象限的图象类型及分布；反过来，也能通过第一象限的图象判断指数的取值范围.举一反三【变式一】（2011陕西文4）函数的图像是（）思路点拨：已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断．解：取，则，选项B，D符合；取，则，选项B符合题意．类型三、求参数的范围例4.已知幂函数的图象与轴都无交点，且关于轴对称，求的值，并画出它的图象．解：图象与轴都无交点，，即．又，．幂函数图象关于轴对称，，或．当时，函数为，图象如图1；当时，函数为，图象如图2．举一反三【变式一】若，求实数a的取值范围

4、.4解法1：∵，考察的图象，得以下四种可能情况:(1)(2)(3)(4)分别解得:(1).(2)无解.(3).(4).∴a的取值范围是.解法2：画出的图象，认真观察图象，可得:越接近y轴，y值越大，即

5、x

6、越小，y值越大，∴　要使，即，解得:.总结升华：以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.【变式二】当m为何值时，幂函数y=(m2-5m+6)的图象同时通过点(0，0)和(1，1).解:∵y=(m2-5m+6)是幂函数.∴m2-5m+6=1.得

7、:m=，又∵函数图象过(0，0)和(1，1)点，∴m2-2m-3>0，得m>3或m<-1，∴m=(舍去)　即:m=.类型四、讨论函数性质例5.求函数y=的定义域.解:原函数可化为y=∴x[-2，3)∪(3，+∞).总结升华：正确判断函数的定义域是完成函数的图象，讨论函数的性质的前提，必须加以重视.例6.讨论函数的单调性.解:可看作是由与u=x2-2x-3复合而成，∵中，u(0，+∞).∴x2-2x-3>0，得到x>3或x<-1.当x>3时，∵u=(x-1)2-4，∴随着x的增大u增大，又∵在定义域内为减函数，∴y随着u的增大而减小，即时，是减函数，而时，原函

8、数为增函数.总结升华：41.复合函数的讨论一定要理清x，u，y三个变量的关系.2.对于这样的幂函数与二次函数的复合，要先考虑幂函数的定义域对自变量x的限制.举一反三【变式一】讨论函数的定义域、奇偶性和单调性．解：（1）是正偶数，是正奇数．函数的定义域为．（2）是正奇数，，且定义域关于原点对称．是上的奇函数．（3），且是正奇数，函数在上单调递增．4