幂函数经典例题(答案)

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1、幂函数的概念例1、下列结论中，正确的是(　　)A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B．幂函数的图象可以出现在第四象限C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数解析　当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．答案　C例2、已知幂

2、函数f(x)＝(t3－t＋1)x(7＋3t－2t2)(t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．分析　关于幂函数y＝xα(α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设(

3、p

4、、

5、q

6、互质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝x是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝x的奇偶性与p的值相对应．解　∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1，∴t＝－1,1或0.当t＝0时，f(x)＝x是奇函数；当t＝－1时，f(x)＝x是偶函数；当t＝1时，f(x)＝x是偶函数，且和都大于0，在(0，＋∞)上为增函数．故t＝1且f(x)＝x或t＝－1且f(x)＝x.点评　如果题

7、中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视．例3、如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)A．-11D．n<－1，m>1解析　在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0x，求x的取值范围．错解　由于x2≥0，x∈R，则由x2>

8、x，可得x∈R.错因分析　上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y＝xα在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．正解　作出函数y=x2和y=的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.例5、函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．分析　解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m.解　根据幂函数定义得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，

9、不符合要求．故f(x)＝x3.点评　幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．变式已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值．解　由题意得，解得，所以m＝－3，n＝.例6、比较下列各组中两个数的大小：　　（1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），．　　解析：（1）考查幂函数y＝的单调性，在第一象限内函数单调递增，　　∵1.5＜1.7，∴＜，　　（2）考查幂函数y＝的单调性，

10、同理0.71.5＞0.61.5．　　（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，　　∵＝，＝，又＞，　　∴＞．　　点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：　　（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；　　（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；　　（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例7、比较下列各组数的大小(1)3－与3.1－；(2)－8－与－.分析　比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法．解　(1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为减

11、函数，又3<3.1，所以3－>3.1－.(2)－8－＝－，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，又>，则>，从而－8－<－.点评　比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．变式　比较下列各组数的大小：(1)－与－；(2)4.1，(－1.9)与3.8－.解　(1)－＝－，－＝－，∵函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又∵>，∴－＝－<－＝－.(2)(4.1)>1＝1,0<3.8－<1－＝1，(－1.9)<0，所以(－1.9)<3.8－<(4.1).例8、　已知幂函数y＝x3m－9(m

12、∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的范围．解　∵