高中函数典型例题

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1、§1.2.1函数的概念¤知识要点：1.设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，xA．其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)

2、xA}叫值域.2.设a、b是两个实数，且a

3、a≤x≤b}＝[a,b]叫闭区间；{x

4、a

5、a≤x

6、a

7、：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.则{x

8、xa}(a,)，{x

9、xa}[a,)，{x

10、xb}(,b)，{x

11、xb}(,b]，R(,).3.决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则.当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）yx121；（2）y3xx312.解：（1）由x210，解得x1且x3，所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,).（2）由x3x30120，解得x3且x9，所以原函数定义域为[3,9)(9,).【例2】已知函数(1)x

12、fx1x.求：（1）f(2)的值；（2）f(x)的表达式解：（1）由12x1x，解得1x，所以31f.(2)3（2）设1x1xt，解得1x1tt，所以()1ft1tt，即()1fx1xx.点评：此题解法中突出了换元法的思想.这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例3】已知函数2xf(x),xR21x.（1）求f(x)f(1)的值；（2）计算：x111fffffff.(1)(2)(3)(4)()()() 234解：（1）由1222111xx2xxf(x)f()122221x1x1x1x

13、1x12x.（2）原式(1)((2)(1))((3)(1))((4)(1))137fffffff23422点评：对规律的发现，能使我们实施巧算.正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.§1.2.2函数的表示法¤知识要点：1.函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2.分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）.

14、 3.一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使 对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那 么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“f:AB”.判别一个对应是否映射的关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写 出体积V以x为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x，长、宽为a－2x，所以体积为V＝xa

15、－x.(2)2又由a－2x0，解得ax.2所以，体积V以x为自变量的函数式是aVxa－x2，定义域为{

16、0}(2)(2)xx.2【例2】已知f(x)=33x2x233xxxx(,1)(1,)，求f[f(0)]的值.解：∵0(,1)，∴f(0)=32.又∵32>1，∴f(3+(32)=(32)32)-3=2+12=52，即f[f(0)]=52.【例3】画出下列函数的图象：（1）y

17、x2

18、；（教材P26练习题3）（2）y

19、x1

20、

21、2x4

22、.解：（1）由绝对值的概念，有y

23、x2

24、x2,x22x,x2.所以，函数y

25、x2

26、的图象如右图所示.3x3

27、,x1（2），y

28、x1

29、

30、2x4

31、x5,2x13x3,x2所以，函数y

32、x1

33、

34、2x4

35、的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数f(x)[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如[3.5]4，[2.1]2，当x(2.5,3]时，写出f(x)的解析式，并作出函数的图象.3,2.5x22,2x1解：1,1x0f(x)0,0x11,1x22,2x33,x3.函数图象如右：点评：解题关键是理解符号m的概念，抓住分段函数的

36、对应函数式.§1.3.1函数的单调性¤知识要点：1.增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量 x1，x2，当x1