一类与向量模长有关试题的简洁解法

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1、解题研究JIETIYANJIU一类与向量模长有关试题的简洁解法王红权（浙江省杭州市普通教育研究室）朱成万（浙江省杭州第十四中学）摘要：从向量加法的平行四边形法则入手，发现在图1中，利用三角形a解决与模长有关的向量问题的三个核心工具：极化恒三边之间的关系，得“三角等式、平行四边形性质和三角形不等式.合理选择解形不等式”，题工具可使这类问题的解答变得简洁明了.a-b≤a﹢b≤b图1关键词：高考试题；向量模长；解法研究a﹢b；⑤a-b≤a-b≤a﹢b.⑥［1］近几年高考或省级竞赛中的向量试题越来越灵活，③式即是人教A版教材（必修4）的第109页解题方法众多（以数形结合

2、和坐标解析法最为常见），例1的探索结果，表明“在平行四边形中，两条对角线对学生的能力要求越来越高.合理选择解题方法和解的平方和等于四边的平方和”.也有人称之为“平行四［3］，［4］题工具显得尤为重要，选择不恰当，费时、费力，且边形法则”，还表明，一个实赋范线性空间E为内不得要领.例如，近几年出现的一类与向量模长有关积空间的充要条件为：对于任意的x，y∈E，有2222的试题，题目结构千变万化，解题方法多且具有较强x﹢y﹢x-y=2（x﹢y）.⑦的技巧性，给人的感觉是眼花缭乱，难以把握.笔者其上的内积可定义如下：梳理后发现，这类问题和向量的“极化恒等式”“平行122

3、x·y=（x﹢y-x-y）.⑧4四边形性质”及“三角形不等式”密切相关，用好这当E为平面向量空间，x，y为E中的平面向量些知识，可获得比较简洁的解法.时，⑦式即③式，⑧式即④式.为叙述方便，本文约一、寻找解题神器定m=a﹢b，n=a-b.已知a，b是两个向量，设m=a﹢b，n=a-b，二、小试神器，化难为易222则m=a﹢b﹢2a·b.①222例1（2014年高考新课程全国卷·理3）设向量n=a﹢b-2a·b.②由①﹢②，得“平行四边形性质”［1］，a，b满足a﹢b=√10，a-b=√6，则a·b的m2﹢n2=2（a2﹢b2）.③值为（）.由①-②，即得“极化恒

4、等式”［2］，（A）1（B）24a·b=（a﹢b）2-（a-b）2.④（C）3（D）5收稿日期：2014—07—17基金项目：全国教育科学“十一五”规划2010年教育部重点课题———中小学数学核心内容及其教学的研究（G0A107010）；2014年浙江省教研课题———中学数学核心概念“习得型”习题课教学设计研究（14B002）.作者简介：王红权（1970—），男，中学高级教师，浙江省数学学会理事，杭州市数学学科带头人，杭州市中学数学教研员，主要从事数学教育研究.352015年第3期解题研究JIETIYANJIU解：根据④式，得a·b=1（a﹢b2-a-b2）=1

5、.所以cmax=√2.4这样的解法看似是小题大做，但事实上这个解答故选A.非常本源地反映了命题者的初衷，而且还有其他东西例2（2014年高考浙江卷·理8）记max｛x，y｝=可以挖掘，第一，可以发现条件“a，b是互相垂直x，x≥y，x，x≤y，﹛min｛x，y｝=﹛设a，b为平面向的”是多余的；第二，⑨式有明显的几何意义：如图2，y，x＜y，y，x＞y.若点M为线段AB的中点，A量，则（）.则OM=1（a﹢b），⑨式表aM（A）min｛a﹢b，a-b｝≤min｛a，b｝2（B）min｛a﹢b，a-b｝≥min｛a，b｝示向量c的终点（这里约定ObB2222（C）

6、max｛a﹢b，a-b｝≤a﹢b向量a，b，c的起点为点O）图22222（D）max｛a﹢b，a-b｝≥a﹢b1轨迹是以点M为圆心，AB长为半径的圆，更一解：根据③式，a﹢b2﹢a-b2=2（a2﹢2b2），般地，可把c-a=k（k＞0），⑩，称为“圆的向量2212方程”，表示向量c的终点轨迹是以向量a的终点为圆所以max｛a﹢b，a-b｝≥（a﹢b-2心，k为半径的圆（其中a是已知的向量）.222a-b）=a﹢b.当然，⑨式还可以利用向量a，b垂直的充要条件故选D.a﹢b=a-b得到.因为（a-c）·（b-c）=0，即（a-c）⊥（b-c）.所以（a-c）﹢（

7、b-c）=三、拨云见日，理清迷雾（a-c）-（b-c），所以2c-（a﹢b）=a-b.两例3已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向边同时除以2，即得⑨式.第三，在下面的应用举例中量，若向量c满足（a-c）·（b-c）=0，则c的最大还能发现这种做法是普适的，也是简单的，更是本源值是（）.的，揭示了问题的代数本质.（A）1（B）2例4已知向量α，β是平面内两个互相垂直的单√2位向量，且（3α-γ）·（4β-γ）=0，则γ的最大值是（C）√2（D）2.现在看来，这是一个比较容易的向量试题，一般同样可以发现条件“α，β是互相垂直的”也是多采用数形结合的方法，通过画图获

8、得结果.事实上，余的.a