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1、2011年1月浙江教育学院学报January2011第1期No.1JOURNALOFZHEJIANGEDUCATIONINSTITUTE随机行走的扩散方程12*焦潍苹,李宏亮(1潍坊工商职业学院信息工程系,山东诸城262200;2浙江外国语学院理工学院,浙江杭州310012)摘要:扩散方程是研究气体的扩散,液体的渗透,半导体材料中的杂质扩散等问题所满足的微分方程.一般是由扩散定律和质量守恒定律得到的.通过一个简单的随机行走模型,应用概率的期望与方差以及差分方程得到一个一维的扩散方程.关键词:期望;方差;差分方程;扩散方程中图分类号:O17529文献标识码:A
2、文章编号:1671-6574(2011)01-0096-04扩散方程的物理模型一般是气体的扩散,液体的渗透,布朗运动等,而在这里我们将建立一个随机行走模型来得到扩散方程.1随机行走模型我们假设一个粒子作一维的随机行走,它只有两个运动方向,向左或向右.我们假设粒子在x轴上运动,初始位置在原点.设其每次移动的长度为,xi为一随机变量,并且令,第i步向右走,xi=i=1,2,-,第i步向左走.设每一步都是独立的,P(xi=)=p,P(xi=-)=q,由于粒子只有向左或向右移动两种可能,n因此p+q=1(见文献[1]).第n步粒子所在的位置为Xn=xi,应用二项分布,在给定的i=
3、1步数后粒子在某个固定位置的概率是确定的.但我们更感兴趣的是,当0,步数n¥时,该随机行走问题的连续极限,然而我们不是要确定这个问题的确切的解,而是通过确定随机变量Xn的数学期望与方差来研究这个问题,随机变量Xn数学期望得到的是n步之后粒子在的平均位置,而方差得到的是实际位置偏离平均位置的程度.我们先考虑离散的情况.2期望与方差21离散型随机变量的数学期望定义21(见文献[3])设离散型随机变量x的分布律为P(xk)=pk,k=1,2,.¥¥若级数xkpk绝对收敛,则称级数xkpk为随机变量x的数学期望,记为E(x),即k=1k=1收稿日期:2010-08-30作者
4、简介:焦潍苹(1981-),女,山东潍坊人,潍坊工商职业学院信息工程系讲师,理学硕士.*通讯作者:李宏亮(1973-),男,浙江外国语学院理工学院数学系讲师,理学博士.第1期焦潍苹,李宏亮:随机行走的扩散方程97¥E(x)=xkpk.k=1nn定理22E(Xn)=E(xi)=E(xi)=(p-q)n.(21)i=1i=1证明对于上述随机行走模型中的粒子在第i步移动后,随机变量xi的期望为E(xi)=(+)P(xi=)+(-)P(xx=-)=(p-q).E(x)为关于x的线性函数,因此我们有nnE(Xn)=E(xi)=E(xi)=(p-q)n.i=1i=1
5、22离散型随机变量的方差22定义23设x是一随机变量,若的方差E[(x-E(x))]存在,则称E[(x-E(x))]为x的方差,记为D(x)(见文献[3]).n2222定理24D(Xn)=[-(p-q)]=4pqn.(22)i=122证明由方差的定义我们可得方差的计算公式D(x)=E(x)-[E(x)],对于独立随机变量X和Y有D(X+Y)=D(X)+D(Y)(见文献[3]),这样我们可得独立随机变量和的方n差,对于Xn=xi,xi是相互独立的随机变量,i=1,2,n,有i=1nnn22D(Xn)=D(xi)=D(xi)=[E(xi)-E(xi)],i=1
6、i=1i=1又因为p+q=1,所以22222E(xi)=(+)P(xi=)+(-)P(xi=-)=(p+q)=,n2222D(Xn)=[-(p-q)]=4pqn.i=13差分方程假设该随机行走模型满足:(i)单位时间内粒子移动r步;(ii)粒子在t=0时刻,由x=0处开始移动;(iii)粒子移动n步的时间为t,且其移动n步后的位置在x处.1n这样由(i)知粒子每一步移动所需的时间为=,若r¥,则0,发生n步的时间为=rrn;由(ii)和(iii)知n步之后的位置Xn=x,所需时间为t=n.如果Xn=k=x,这里k是向右走的步数减去向左走的步数,则k>0
7、,有x>0,而k<0,有x<0.定义31设v(x,t)为t时刻粒子在x位置的概率分布,这里t=n,即v(x,t)=P(Xn=x).定理32v(x,t+)=pv(x-,t)+qv(x+,t).(31)证明由定义31知v(x,t+)为在(t+)时刻粒子在位置x的概率,v(x-,t)为t时刻粒子在位置x-的概率,v(x+,t)为t时刻粒子在位置x+的概率.又因为粒子只有向右和向左两个移动方向,所以在(t+
