第12章_下_-随机微分方程与扩散

《第12章_下_-随机微分方程与扩散》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、龚光鲁,钱敏平著应用随机过程教程–与在算法和智能计算中的应用清华大学出版社,2004下面我们粗略地介绍随机分析的基本工具,即随机微积分.还要介绍一种最常见的连续状态连续时间的Markov过程,称为扩散过程.由于这部分内容涉及较多的数学内容,要真正表达清楚，测度论与概率基础等工具是必不可少的.这样就大大超出了本书大部分读者现有的数学基础.因此，在本章中我们并不求给出一般的定义与定理的精确叙述，而是只从一些有典型意义的特例,来导出随机微积分及扩散过程的概念与其思想之精髓.3.Ito积分－对Brown运动的积分

2、对于函数的研究，复合函数的微积分是其精髓．而对于一个随机过程的复合函数这样的特殊随机函数而言,其微积分也具有同样的重要性.函数的微分与积分是一对互逆的运算.对于初等函数，我们常从其导数入手，进而得到微分与积分；但是对非常复杂的一般函数，积分却比导数更容易理解与处理，也易于作近似计算.因此，人们也常以积分作为微积分的核心.在本节中,我们将考虑对Brown运动的随机积分,作为随机微积分的核心.3.1对Brown运动的积分与其特殊性对Brown运动的积分的特殊性设在概率空间(W,F,P)上有Brown运动{B}

3、(B=B(w),wÎW)及另一个轨道(样tttD本函数)连续的随机过程F=F(w)(回忆起它是依赖于参数t的随机变量族,在w固定tt时,F(w)作为t的函数,即为随机过程F的一个样本函数,或轨道).我们能不能对于tt固定的w,定义样本函数F(w)对于Brown运动的样本函数B(w)的积分ttbF(w)dB(w)为积分和的极限呢?更具体地，如果我们考虑区间[a,b]的一组划分:òttaD(n)(n)(n)(n)a=t

4、=åFtk(n)(w)(Btk(n+)1(w)-Btk(n)(w)),(12.18)k=0b那么能否定义F(w)dB(w)为limJ(w)呢?如果limJ(w)对每一个ω都òttn®¥nn®¥na存在，那么很自然地，这个极限就该是F对B的积分，但是不幸的是，一般limJ(w)ttn®¥n并不存在,关于这一点,我们将在下面说明.另一方面,如果我们不要求limJ(w)对每一个ω都存在，而把n®¥n343DJ=J(w),wÎW视为随机变量,而且把”极限”的含义要求得弱一些:如果随机过程nnΦ只依赖Brown运动

5、的过去{B:u£t}，即Φ为(B)可知的,则可以证明随机列J是tuttn按概率收敛的.Ito就把这个概率收敛的极限随机变量,定义为随机过程Φ对Brown运动tB的积分.这就是Ito积分的基本思想.即若对于任意e>0有tlimP(

6、J(w)-h(w)

7、>e)=0,n®¥n则我们就定义bDF(w)dB(w)=η(ω)．òttabb并把它简记为òF(t)dBt=h,或更简单地记为òFdB.aa(n)(n)需要指出：和数Jn在每个小区间(tk,tk]上，我们需要限定取Φt(n)作为Φ在此小区k间上的近似，而不能象

8、在普通函数的积分中那样,可以取Φ在此小区间上任意的一点的值为近似.其原因是：这里相应于普通积分中的差分的项是:DB(n)=B(n)-B(n),它们是随机tttkk+1k(n)变量.虽然limDB(w)=0，但是对于不同的ω，它们趋于0的速度很不一致，而粗n®¥k(n)2(n)2(n)(n)略地说,平均地有(DB)~E(DB)=Dt.也就是说，平均地ΔB趋于0的速度kkkk(n)(n)(n)(n)为Dt,它大大地慢于Dt.从而在区间(t,t]上取不同的点作为Φ的近似,所得kkkk的近似和之间的差别是不可忽略

9、的.定义（命题）１２.４５（Ito(随机)积分的定义）若随机过程F是(B)可知的,且ttT2E

10、F(w)

11、dt<¥,(12.19)òt0则对于区间[0,T]的任意一组划分:D(n)(n)(n)(n)0=t

12、J-

13、J

14、=0，nn,m®¥nm所以J存在均方极限）．n例１２．４５我们有t121BdB=B-t.òsst2201这个结果与普通微积分的不定积分公式是不同处，是这里多了t.下面我们来推导这一结2论.记DB(n)=B(n)-B(n),则tttkk+1kJ=åB(n)(B(n)-B(n))ntktk+1tkk12122=å[2Btk(n)Bt(kn+)1-2Btk(n)]=å[D(Bt(kn))-(DBt(kn))]2k2k1212D1