随机微分方程.docx

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1、一、一维分岔考虑一维随机微分方程生成的连续动态系统ò它是以x为初值的(6.1-41)之唯一强解。假定从而0是的一个固定点。对此固定点,dB(t)是随机参激。设m(x)有界,对所有满足椭圆性条件这保证最多只有一个平稳概率密度。求解与(6.1-41)相应的平稳FPK方程得平稳概率密度于是,上述动态系统有两种可能的平稳状态:不动点(平衡状态)与非平凡平稳运动。前者的不变测度的密度为,后者的不变测度的密度为(6.1-45)。为研究D-分岔,需计算这两个不变测度的Lyapunov指数。为此,考虑(6.1-41)的线性化方程利用(2.5

2、-6)之解(2.5-11),得(6.1-46)之解ê动态系统关于测度的Lyapunov指数定义为(6.1-47)代入(6.1-48),注意,得不动点Lyapunov指数对以(6.1-45)为密度的不变测度,(6.1-47)代入(6.1-48),假定有界,可积,得Lyapunov指数进行分部积分,并利用(6.1-45),最后得ú随机跨临界分岔考虑(6.1-41)的特殊情形生成的动态系统族jaja(6.1-53)是以x为初值的(6.1-52)之解。先作变换,将(6.1-52)化为关于Y的线性Itô随机微分方程,再按2.5.3中方

3、法得(6.1-53)。时,该动态系统存在确定性跨临界分岔。时,对应于两个确定性平衡状态与有两个遍历不变测度。一个不变测度为,其密度为,对所有值成立。另一个不变测度的密度在时为ï式中-按(6.1-49),关于不动点不变测度的Lyapunov指数为由(6.1-51)与(6.1-54),可得关于非平凡平稳状态不变测度的Lyapunov指数可知,不动点不变测度在时稳定,而非平凡平稳状态不变测度在时稳定,从而,是一个D-分岔点。对概率密度(6.1-54)作极值分析知,除(是一个D-分岔点,也可看成是一个P-分岔点,因为从负变正,概率密

4、度从函数变成峰在上的普通概率密度)外,在处发生P-分岔。当时,概率密度在处最大,随x单调下降。而时,概率密度在处有一个峰,且。随机叉形分岔考虑(6.1-41)的另一个特殊情形生成的动态系统时,动态系统有确定性叉形分岔;时,只有唯一的不变测度,其密度为。时,与确定性动态系统的三个平衡状态相对应有三个不变测度:与两个非平凡平稳状态测度,其密度为ï式中。按(6.1-49)可得关于的Lyapunov指数由(6.1-51)、(6.1-60)及(6.1-61)可得关于的Lyapunov指数可知,在处发生D-分岔。对概率密度(6.1-60

5、)作极值分析知,在处发生P-分岔。二、二维分岔考虑Gauss白噪声参激的Duffing-vanderPol振子(有两个参数与。已知,在时,固定,改变,可发生叉形分岔;固定,改变,可发生Hopf分岔。随机Hopf分岔设,固定,增大使之穿越。从数值求解与(6.1-64)相应的平稳FPK方程观察到[26],当足够负时,概率密度为在(0,0)上的函数,说明(0,0)是稳定平衡状态。当增大至时,出现峰在(0,0)上的非平凡平稳概率密度,说明此时(0,0)是不稳定的平衡状态,实际上是一个D-分岔点。继续增大至,非平凡概率密度变成火山口形

6、,因此,是一个P-分岔点。被Ebeling[27]称为“分岔区”。这是随机Duffing-vanderPol振子的P-分岔过程。为研究随机Duffing-vanderPol振子的D-分岔,需计算(6.1-64)在(0,0)处线性化方程é的Lyapunov指数。当时,已证[25]两个Lyapunov指数为式中是下列扩散过程平稳测度的二阶矩:在处从负变正,在处从负变正,b对小值,用摄动法求得式中在处从负变正,在处从负变正。Keller与Ochs[29]通过数值分析发现,当(即)时(0,0)是全局吸引子。当(即)时(0,0)变成不

7、稳定鞍点,它的一维不稳定流形的闭包是一个“混沌”吸引子,闭包的横截面像Canton集。当(即)时,(0,0)是不稳定节点,它的二维不稳定流形的边界是在穿孔平面上新吸引子,该边界也有像Canton集的横截面。随机叉形分岔在(6.1-64)中,固定,让从负变正。从相应平稳FPK方程的数值解知,直至稍大于零,是唯一的不变测度。当时,产生一个非平凡的平稳测度,它的密度在(0,0)处有一个峰;继续增大,非平凡平稳测度的密度有两个峰,可知,随增大,先后经历了一次D-分岔与一次P-分岔。用摄动法可求得Lyapunov指数在处改变符号,而总

8、是小于。因此,只有一次D-分岔。(6.1-64)的平稳概率密度可用能量包线随机平均法近似求得,据此可分析P-分岔与第一次D-分岔[30]。

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