随机微分方程和应用.ppt

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1、111随机微分方程及其应用1随机微分方程的重要性近年来，随机微分方程，随机分析有了迅速发展，随机微分方程的理论广泛应用于经济、生物、物理、自动化等领域。在经济领域，用随机微分方程来解决期权定价的问题，在产品的销售，市场的价格等随机事件中，可根据大量的试验数据确定某个随机变量，并附加初始条件建立随机微分方程的数学模型，从而推断出总体的发展变化规律。在生物领域，用于揭示疾病的发生规律以及疾病的传播流行过程，肿瘤演化机制等。在物理领域，用于布朗粒子的逃逸与跃迁问题，反常扩散。33随机微分方程——定义设X为n维的随机变量,W为m维的维纳运动，b和B是给定的

2、函数，并不是随机变量，，1、随机微分方程的定义：那么随机微分方程可以表示成如下形式：若X满足等式：那么X就是此随机微分方程的解。如果系数b和B分别满足：b(x,t)=c(t)+D(t)x，B(x,t)=E(t)+F(t)x,那么就称此方程为线性随机微分方程。如果c(t)=E(t)=0，那么线性随机微分方程是齐次的。如果F(t)=0，这称随机微分方程狭义上是线性。3444随机微分方程——解的形式2、线性随机微分方程的解的形式以上我们定义的是基于n维随机变量和m维布朗运动的随机微分方程，实际应用中大多数为一维的情况，以下给出一维中随机微分方程的解的具体

3、形式当m=n=1时，线性随机微分方程的一般形式如下：解为：其中4随机微分方程举例2、线性随机微分方程举例例1、股票价格设P(t)表示在t时刻股票的价格，通过股票价格的变化率可以建立P(t)的随机微分方程：其中υ和σ为常数，υ>0表示股票趋势项，σ表示股票波动项，则微分方程转化为下面的形式：根据伊藤公式可知：随机微分方程举例可以解出P(t)：由此可知，若初始价格为正直，则股票价格总是正的。由随机微分方程可知：并且，则可知：可以解出：因此股票价格的期望值由股票的趋势项决定，与股票的波动没有关系。7随机微分方程举例例2：朗之万方程存在摩擦力的情况下，布朗

4、粒子的运动模型服从一维的随机微分方程，，其中ξ表示白噪声，b>0表示摩擦系数，σ表示扩散系数。在此方程中，X代表布朗粒子的运动速率。X0与维纳过程相互独立，因为白噪声是维纳过程对时间的导数，所以此方程等价于下面的随机微分方程：根据线性随机微分方程解的形式可以求得此微分方程的解为：8随机微分方程举例可以求出X的期望：则X的方差为：则当t趋于无穷大时：从解的形式来看，当t趋于无穷大时，X的渐近分布为正态分布，与初始分布无关。9随机微分方程举例例3：乌伦贝克过程布朗运动的另一随机微分方程模型：其中Y(t)是t时刻布朗粒子的位移，Y0与Y1是给定的高斯随机

5、变量，b>0是摩擦系数，σ是扩散系数，ξ通常为白噪声。若，即X表示速率，则原方程等价于以下朗之万方程：则方程的解为：10随机微分方程举例则可以解出原微分方程的解Y(t)：例4：随机谐波振子其中表示线性的保守势场力，表示摩擦阻尼力，ξ表示白噪声，可以通过一般的公式来求解此随机微分方程。当X1=0，b=0，σ=1时，随机微分方程的解为：1111逃逸问题随机谐波振子的微分方程进行推广可以的得到如下方程：阻尼力，b是摩擦系数保守势场力，V(x)即为势函数，在随机谐波振子微分方程中为线性的，当势函数为非线性的时，就会存在逃逸的问题。随机力或噪声项，通常为高斯

6、白噪声1.摩擦系数b可以是线性的，也可以是非线性的。2.此方程中X的导数为一阶，然而X的导数也可以是分数阶导数，即分数阶摩擦11121212逃逸问题逃逸问题是研究系统在随机力作用下从稳态出发的演化过程，尽管随机力很小，但是足以引起布朗粒子的逃逸，从而使原来的稳态发生质的改变，我们基于以上的随机微分方程来研究布朗粒子的逃逸问题。若势函数V(x)是非线性的，且是单势阱，结构如下图：12131313逃逸问题从势函数的结构图中可以看出该势阱的高度为，势能最小值的位置坐标为xs，也是V(x)的稳定点，最大值的位置坐标为xu，也是V(x)的不稳定点。当时，，因

7、此系统在负x方向是被束缚的，xxu,系统会自动趋于无穷，所以x>xu叫做逃逸区。研究系统从束缚区进入逃逸区的问题，就叫“逃逸问题”。13当势阱函数V(x)为双稳势阱时，在随机力的作用下，两个势阱中的运动不再相互独立，初始在某一势阱内的系统，会在不同时间以不同的概率进入另一势阱。逃逸问题也就转化为系统在随机力的作用下两个稳态之间的跃迁问题。141414逃逸问题如图所示：它在x的正负无穷上都是受束缚的，势函数有两个极小值（稳定解）和一个极大值（不稳定解）。如果不存在随机力的作用，初态处于的势阱内

8、的粒子将逗留在原势阱内，它们将各自趋于初态所处势阱的极小值，即到达系统的稳定解。而一旦到达了此稳态，粒子将永远不再偏离。但