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1、··年山东工业大学学报腼第卷第期!!。。方向导数及应用基础课教学部李莲英山东机械学校孟宪英本文讨论方向导数在物理和几何中的意义及其应用方向导数与梯度方向导数,,在许多实际问题中不但要考虑函数了沿各个轴向的变化率即偏导数还必须研究,,。函数沿任意指定方向的变化率即对指定方向的方向导数并寻求变化率最大的方向。,,,,,,,,设是丑中一单位向量其方向余弦分别为夕即二刀。,,。。
2、,。,,。刃那么以,勒为起点以为方向的半直线射线可以表示为砚、甘。。工名封十咖那刀“向十夕如果丛塑土还竺竺业土卫竺应三止匕四塑生二卫些二些止丝尸。,。。,二。,,。存在这个极限就称为了在尸处沿方向的导数记作从了驹甸把此定义与偏导,二。,。,,。,。,,‘。,。,,数的定义进行比较可知当井,石不,而苏,翔存在时其数值。,,,,,,。,,,,分别为在尸处沿方向“二二的方
3、向导数当然偏,。。导数是双向极限问题方向导数是单向极限问题方向导数与偏导数概念不同函数的徽分与方向导数的计算公式,。为了简化方向导数的计算先引进函数的微分概念,,,二,尸。。,,。,,定义设劝在的某个邻域内有定义如果存在常数,使。,。,,,。了十七梦十△犷而十助一〔勘脚为一丛刀△,公十,“,其中了丛十勺十公且。呱一一收稿日期山东工业大学学报年。。则称在处强可微。,,,。,如果对任意方向!
4、刀力在尸处沿的方向导数存在则称在处弱可微。,。,由上述定义可知当了在尸处强可微时必有。,,。,。,二。,犷。,。,。,,。,。荞石一大,,,且对任意方向一刀有。,。,。。,。,。。,,。。,,。,。夕众犷其夕石如刀关,,。由此可知一个强可微函数必是弱可微的且其方向导数可由公式来计算,,,下面例子说明对于弱可微函数公式就未必成立从而弱可微函数也未必是
5、强可微的。例设之十当尹犷护、了、,即一当护梦一,,在原点口处我们通过直接计算有,、了、产、了、‘户口五术,,一刀有对任意方向,刀刀十刀,,。,,因此在处是弱可微的但当刀并时比较两式可知,,,从了笋术石声。,。即公式不成立这也说明了在处不是强可微的梯度。,,方向导数刻划出标量场在指定方向上的变化率
6、在适当的条件下由公式众可以写成向量内积的形式,,·,,扩关儿关、刀夕,,,,,式中向量井石关称为函数习的梯度记为,,,召由式可以看出刀表示梯度了在上的投影因此当与方向一致,、,。即其夹角为。时从达到最大值一厅弃石尹不护当与方向相反即其,。,,夹角为,时刀达到最小值一了由此可知当护时的方向就是函数增加最快的方向。。。,梦。,二。,。,。,之。,。
7、设一一现在考虑过点的曲面等值面’,,夕一,,,在函数强可微的假设下所确定的曲面上任一点梦处的法向量为、,,吞。,,名,盯一盯一匆万韶,下二少又,犷,名少一夕,之一夕沪石梯度的物理意义及其应用第期李莲英等方向导数及应用设有恒定温度场。,夕,之,由于场中各点的温度不同,产生热的流动,热量由温度较高的点流向温度较低的点,根据热传导理论中的富里叶定律,热流强度矢量一无。
8、万,。式中负号表示热流方向与温度增加的方向相反称为内导热系数尸在温度场中任一点处沿方向的热流强度为,一、无‘万,一·,会一万万一一,当。的,仑。,所以方向与万的方向一致时即当的方向与的方向相反时热流强度取,,一。的方向就是得最大值砂这表示百的方向即热流强度最大的方向它也是等温面的法线方向。,设置于原点处的点电荷具有电量它所产生的电场强度为门飞节共任兀七口,:,,,,‘/,,。。。。
