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1、Vol14,No13高等数学研究Sep.,2001STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS13教学随议X谈指数函数的定义——在大学数学课程中妥善定义指数函数1212王昆扬 张培恒(北京师范大学数学系 100875,青岛大学数学系 266071)对于如何定义指数函数,我们提出下述看法,与同行们商讨。1 承袭前人的结果,不必重复对事物的认识过程在数学发展的历史上,对于对数函数的研究比对指数函数的研究来得还早,这似乎是不合逻辑的反常现象,但却是事实。十六世纪,当人们对于指数概念的了解还不很完全的时候,由于天文
2、学和航海事业的需要,英国数学家J.Napier(1550—1617)使用三角公式,花了约20年时间,制作了精密的对数表。于1614年出版了《MirificiLogarithmorumCanonicDescription》《奇妙的对数定律说明书》()(参阅[1])一书。他的工作不涉及指数函数的概念,当时关于非正整数指数的概念还是模糊的。另一位英国数学家和天文学家H.Briggs(1561-1630)是Napier的追随者和合作者,继承Napier未竟的事业。他们于1624年合作出版了《ArithmeticaLogari
3、thmica》《对数算术》()一书。为了纪念Briggs,以10为底的对数(常用对数)常被称为Briggs对数。在他们那个年代无理数e尚未被发现。第一个明确地阐明对数是幂运算的逆运算的是大数学家L1Euler(生于瑞士,1707—1783)。自然对数的底也是他发现的,并以他的名字的首字母的小写形式e来表示。英格兰数学家B.Taylorx(1685-1731)于1715年提出函数的级数表示公式,在这个公式下,e的值将由x代入下面的级数中而得到:∞nxxe=6(1)n=0n! 如今我们怎样向学生讲授对数概念呢?恐怕没有
4、人会从Napier和Briggs的著作《ArithmeticaLogarithmica》讲起。我们都不会重复历史上前人走过的路,而是直截了当地先讲指数,再作为其逆运算引入对数。2 现在流行的教科书中,对指数函数定义的讲法之缺点上一段的历史事实说明,我们在承袭前人对于指数、对数的研究结果时,没有重复前人走过的老路,而是走了一个“捷径”。但是在怎样向学生讲授指数函数这个问题上,现行的教科书中的讲法却是保守的,我们来看指数函数xf(x)=a(a>0)x∈R(2)通常是怎样定义的。先考虑x取自然数的情形,那么f(x)是x个a
5、连乘之积,这时f(x)叫做a的11x次幂。其次考虑x取自然数的倒数x=(n∈N)的情形,这时把f(x)规定为一个其n(=)次nx幂为a的正数,并把它叫做是a的n次方根。进一步f(x)的定义可推广到x为有理数的情形。注意,这里暗藏着一个正数的n次方根存在的问题。试问,在定义之初,一个正数一定有n次方根这件X收稿日期:2001—01—11。©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved. 高等数学研究
6、 142001年9月n事是不是容易说得清楚?定义了n(n∈N)次方根之后,接着,考虑x是正分数(m,n∈N)的情形。mn1nam被定义为(am)。其后对于x是有理数的情形,给出f(x)的定义。最后,如何过渡到x是无理数的情形呢?是不是要通过x作为有理数列的极限来过渡呢?这样的过渡是很干净利索的吗?这样定义的指数函数其连续性是不是已蕴含于定义本身了呢?处理诸如此类逻辑上的细节是很省事的吗?这样一个定义指数函数的思想过程,所涉及到的指数函数的基本性质(或特征)乃是xyx+yaa=aa>0,x,y∈
7、R(3)关于这个算律,中学生已经记得清清楚楚了,就像他们已经清清楚楚记得勾股定理一样。那么,这样一个定义指数函数的方法,使学生从中学的认识水平提高到怎样的程度呢?我们认为这样讲授指数函数至少有三个缺点。1)细节麻烦,逻辑不清,叙述罗嗦。如上所述,正数的方根的存在性,只能承认,说不清楚。正数(当然可以是无理数)的“无理数次幂”也不是三言两语说得明白的。2)与第一个缺点相关联,在讨论指数函数的连续性时发生逻辑错误。3)按上述方法恐怕很难,甚至不可能把指数函数的定义域扩充到复平面上的。也就是说,对于2i虚数i(i=-1),
8、f(i)=a的定义恐怕只能重新规定。上述第2)个缺点,已在有些教科书中表现出来。在这些书中,如上“定义”了指数函数之后,随x之“证明”指数函数是严格单调的,然后定义它的反函数loga。当证明f(x)=a(a>0)在x=0处的连续性时,论述如下:PE>0,要使ûf(x)-f(0)û
