资源描述：
《复指数函数的定义问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、复指数函数的定义问题摘要：本文讨论了如何将实数域中指数函数的定义推广到复数域，欧拉公式与复指数函数的关系。关键词：欧拉公式；指数函数；乘法运算IIII中图分类号：0174.5文献标识码：A1.引言复变函数论里的欧拉公式：Z=cosx+/sinx,e是自然对数的底，/是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系。将公式里的％换成-%，得到：e~Lx=cosx-/sinx,然后采用两式相加减的方法得到：sinx=,cosx=.2/2这两个也叫做欧拉公式。将Z=cosx+fsinx中的X取作;T就得到:'+1=0。这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着
2、迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数联系到了一起，两个超越数：自然对数的底圆周率;T，两个单位：虚数单位/和自然数的单位1,以及数学里常见的0。复变函数教学中常碰到T面这些问题：欧拉公式是怎么得來的，为什么这样定义复指数蚋数与三角函数？复变函数的教材很多但是都没有详细的说明这个问题。本文对这些问题进行了讨论。2.如何在复数域上定义指数函数一个重要极限lim(l+丄)x=e，这里e为自然对数的底，得出e=2.7182818284…。e在科学技术领文章编号：1673-9639(2012)02-0106-03域中用得非常多，使用以e为底数的对数，能使许多式子得到简化，用它是最“自然”的，
3、所以叫“自然对数”。自然指数表示方法为f=exp(x)，其中x可以为任意复数。为了使负数开平方有意义，需要再一次扩大数域，于是，就引入了虚数，使实数域扩大到复数域。如何建立复数理论，首先要引入运算法则，然后将初等函数等这些最基本的概念推广到复数域。给出两个复数z,=%,+/)，,和易=七+权，其加法、减法的定义为实部与虚部分别相加减。乘法如何定义？给出复数的叫则运算之后如何进一步进行处理？如何将导数、微分的概念推广到复变函数上来？如何将实数域上熟知的初等函数推广到复数域上来？解析函数是复变函数研究的主要对象。它是一类具有某种特性的可微函数，它的一个必要条件是满足柯西-黎曼条件，即如果
4、/(z)=w(x,y)+y)是解析函数，则必须有=vvy或写成为了进一步对复数进行研究，将复数与向量一一对应起来，为此引入了复数的模与辐角的概念，用收稿円期：201MM8基金项目：本文系铜仁学院校级课題(课題批准号：TR052)成果[Z?=t/=O复数的模与辐角来表示非零复数z，即z=r(cos0+isin0)«,特别的，当r=l时有z=cos+zsino于是两个复数z,=x,+zy,=z;(cos6X+isin,z2=x24-iy2=r2(cosft+/sinft)相乘可以写成2,22=(x,x2-.y,y2)+/(x,y2+y,x2)=A；/;(cos(0+0)+/sin(0+0
5、)).仔细观察这个等式，两个s数相乘，是它们的模相乘，辐角相加，乘法可以变为加法运算。再考虑一下，初等函数里面什么函数能将乘法运算转换成加法运算？自然而然的想到指数运算。如果定义：=cosx+/sinx,贝！Jty(x)通常表示一个实函数，为了强调它的特殊性，并且表示它与复数的特殊关系，可重新定义为：69(/a)=cos%+/sinx,则有：
6、狄/%)
7、=1，fzX/x)的福角为x，z=/训/'的。这吋自然产生一个问题，(o(ix)是不是解析函数？不是，如何构造一个解析函数，使得它包含69(/a)=cos%+/sinx,并且具有较好的形式与性质？对此有以下两种分析的方法。(i)考虑f
8、(z)=u(x,y)+iv(x,y),其中，认以为关于的实函=csinx+a数。则若/(z)为解析函数，有u、.=cicosx-asinx+=vv=cvsin%+9、bsz,，力关于X，)，的央［v(x,y)=csiny^d函数。则若/(z)的实部与虛部满足柯两-黎曼条件，则有ux=axcosy+bx=vv=ccosy+cysiny+clyuy=aycosy-asmy+bv=-vv=-cxsiny-dxb=d=0ci=c一个特殊且简单的解为：x«t=c=CV=O即/(z)=eA(cosy+isiny)为解析函数。(i)、(ii)这种分析方法在调和函数里经常用到,由以上分析得到的四个新的函数/(z)=-eycosx+ie
