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《相似变换阵与合同变换阵的初等变换求法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第17卷第2期工科数学Vol.17,№.22001年4月JOURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGYApr.2001相似变换阵与合同变换阵的初等变换求法雷英果(福州大学数学系,福建福州350002)[摘要]引入初等相似变换与初等合同变换,使化方阵为Jordan标准形的同时求得相似变换阵,化实对称阵为对角阵的同时求得合同变换阵.算法易于理解,计算量较小.[关键词]矩阵;相似矩阵;合同变换;初等变换[中图分类号]O151.2[文献标识码]C[文章编号]1007-4120(2001)02-00
2、77-041引言初等变换是线性代数的基本方法,它体现了线性代数的本质——加法与数乘.初等变换步骤单一,运算量小,易于掌握,最有效,最实用.许多教科书都介绍了用初等变换计算行列式,求矩阵的逆,计算矩阵的秩,求解线性方程组.至于用初等变换求相似变换阵以及求合同变换阵,则几乎没有涉及.《工科数学》2000年第一期,谢永东、郑华盛文章《合同变换阵的初等变换求法》提出一种用初等变换方法求合同变换阵的方法.本文指出一种对实对称阵A的增广阵的增广部分进行初等行变换求合同变换阵的方法.并指出该文中例2不必用两次变换(见该文定
3、理的注)同时指出用初等变换也可以求相似变换阵,在将方阵化为Jordan标准型的同时求得相似变换阵.2合同变换阵的求法设A是n阶实对称阵,称如下三种初等变换为初等合同变换:(a)对调A的第i行ri与第j行rj得到A1,紧接着对调A1的第i列ci与第j列cj;(b)A的第i行ri乘以非零数a得A1,紧接着A1的第i列乘以数a;(c)A的第i行ri乘一个数a加到第j行上得A1,紧接着对A1的第i列ci乘以数a加到它的第j列cj上;对A的增广阵B=[AE](E是n阶单位阵),A所在部分进行初等合同变换,当变换是对行进
4、行TT时,连同E所在部分也进行变换,当A变为对角阵时,E所在的位置变为矩阵C,则有CAC=.T这种做法的理论依据是:当A是n阶实对称方阵,则存在n阶满秩阵C,使得CAC=,是对角TTTTT阵,由于满秩阵可以分解为有限个初等方阵的乘积,故有C=E1E2⋯Ep,C=EpEp-1⋯E2E1.于是TTTTEpEp-1⋯E2E1AE1E2⋯Ep=,T其中Ei是初等方阵,即单位方阵E经一次初等变换而得的方阵.注意到Ei与Ei都是初等方阵,而且互TTT为转置阵,因之Ei左乘A相当对A进行初等行变换,Ei右乘EiA
5、相当对EiA进行同型的初等列变换.TTTTTT又CE=C=EpEp-1⋯E2E1故得上述算法.例化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2-6x2x3+2x1x3为标准型.[收稿日期]2000-07-0578工科数学第17卷011解二次型的矩阵为A=10-3.1-30由于0111001-21101r1+r3c1+c310-301010-30101-300011-300012-211012-21101r2+r1c2+c1-20-30100-2-21111-300011-3000120110120110111r3
6、-r1c3-c120-2-211120-2-21111111-200010-2--02222001012001010-2-2111r3-r20-2-2111c3-c21113310-2--000--1-2222222001012001010-20111r3×2c3×20-2011133100--1-003-3-2-12222001000-20111,006-3-2-1所以10011-3TC=111,C=01-2.-3-2-101-12T易验证CAC=-2.6222故令X=CY后得所求标准形为f=2y1-2y2
7、+6y3.3相似变换阵的求法设A为n阶方阵,称如下初等变换为初等相似变换:(a)对调A的i,j两行(列)得A1,紧接着对调A1的i,j两列(行);1(b)用非零数a乘A的第i行(列)得A1,紧接着用乘A1的第i列(行);a(c)用非零数a乘A的第i行(列)加到A的第j行(列)的相应元素上得A1,紧接着用(-a)乘A1的第j列(行)加到A1的第i列(行)相应元素上去.AE对A的增广阵A所在的位置的行、列施行初等相似变换,当A变为Jordan标准形J时,则EO-1得到相似变换阵P及P,即有第2期雷英果:相似变换阵
8、与合同变换阵的初等变换求法79-1AEJP,EOPO-1而且有PAP=J.这种算法的原理与初等合同变换相似,只要注意初等变换阵Ei的逆阵的形式就可以了.比如用Eij(a)表示单位阵E的第i行乘以数a加到第j行相应元素上而得的初等方阵,则-1Eij(a)=Eij(-a).2-1-1例设A=2-1-2,求A的Jordan标准形及所用的相似变换.-1122-1-11002-1-11002-1-201000
