ch1-3初等变换与初等阵.ppt

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1、初等变换与初等阵一、矩阵的初等变换二、初等矩阵引例：用消元法解下面的线性方程组在上述过程中，进行了三种可逆操作:(1)交换方程组中两个方程的位置；(2)对某一方程两边同时乘以不为零的常数；(3)给某一方程乘以常数k加到另一个方程上去。变换前后的方程组是同解方程组。上述变换相当于是对该方程组所对应的增广矩阵进行了：(1)交换两行元素的位置；(2)给某一行所有元素都乘以一个非零常数；(3)某一行所有元素乘常数k加到另一行的对应元素上。总结1、这三种变换均可逆.2、这三种变换得到的是同解方程组.3、方程组的变换可以看成矩阵的变换.1、定义下面三种变换称为矩阵的

2、初等行变换.（1）互换两行：（2）数乘某行：（3）倍加某行：二、矩阵的初等变换（ElementaryTransformation）定义初等列变换与初等行变换统称为矩阵的初等变换．同理，把换成可定义矩阵的初等列变换.ERTECTC表示列column,r表示行row.如：c1c2r3+(2)r1对应于三类初等行,列变换,有三种类型的初等矩阵:(1)对调阵Ei,j是由单位矩阵第i,j行对换而得到的.也可由单位矩阵第i,j列对换而得到的.(2)倍乘阵Ei(k)是由单位矩阵第i行乘k(k0)得到.也可由单位矩阵第i列乘k(k0)得到.(3)初等倍加矩阵Ei

3、,j(k)是由单位矩阵第j行乘k加到第i行而得到的,或由第i列乘k加到第j列而得到.第i行第j行例1计算下列初等矩阵与矩阵A=[aij]3n,A=[aij]32,B=[bij]33的乘积:初等矩阵(从左边)乘以A的结果是对A作初等行变换由上可见,B乘以初等矩阵的结果是对B作初等列变换.如果初等矩阵是由单位矩阵作某种行(列)变换所得,那末它在从左边乘A也是对A作该种行初等变换.它在从右边乘B是对B作该种列初等变换.定理设A是一个mn矩阵，则对A施行一次初等行变换相当于一个初等矩阵左乘以A；对A施行一次列变换，相当于A右边乘以一个相应的初等矩阵.不难

4、证明下面的一般结论:Ei(k)A表示A的第i行乘k;EijA表示A的第i行与第j行对换位置;Ei,j(k)A表示A的第j行乘k加至第i行;BEi(k)表示B的第i列乘k;BEij表示B的第i列与第j列对换位置.BEi,j(k)表示B的第i列乘k加至第j列;记法:靠近A的脚标的k倍加到远离A的脚标上去.第一行的-2倍加到第三行第三列的-2倍加到第一列记法:靠近A的脚标的k倍加到远离A的脚标上去.初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换另外：以对角矩阵左乘矩阵时，把按行分块，有另外：以对角矩阵右乘矩阵时，把按列分块，有广义的初等变换：

5、定义经过有限次初等变换变成矩阵，如果矩阵就称矩阵，记作,也称为相抵.等价关系的性质：（1）反身性：（2）对称性：（3）传递性：称满足下列两个条件的矩阵为行阶梯形矩阵：1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；行阶梯形矩阵(简称阶梯阵)P742）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右.如注意:竖阶梯只下一级.以下不是阶梯阵:行阶梯形方阵为上三角阵.利用倍加行(列)变换可把方阵A化为上三角阵.利用倍加行(列)变换可把矩阵A化为行阶梯形矩阵.称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵：1）行阶梯形矩阵行最简形矩阵)742）各非零行的首非零元均为1.3）首非零元所

6、在列其它元素均为０.如利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵.称满足下列两个条件的矩阵为标准形：1）左上角为单位阵；标准形２）其它元素均为０.如初等变换可把矩阵化为标准形矩阵.倍加行(列)变换可把矩阵A化为行阶梯形矩阵.利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵.利用初等行,列变换可把矩阵化为标准形矩阵.注：（2）任一矩阵的行最简形矩阵与标准形矩阵唯一.（3）标准形矩阵是等价类中最简单的矩阵.计算行列式可用行,列变换求标准型可用行,列变换解方程只能用行变换求行阶梯型依题意(用倍加行,行变换,或列变换)如利用初等行,列变换可把矩阵化为标准形矩阵.利用倍

7、加行(列)变换可把矩阵A化为行阶梯形矩阵.利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵.定理*利用初等行,列变换可把矩阵化为标准形矩阵.*利用倍加行(列)变换可把方阵A化为上三角矩阵.应用：行初等变换将矩阵变为：阶梯阵，行最简形1。求方阵A的逆：P51例3－62。求方程组的解：P92-3例5-5,5-63。求极大无关组，矩阵的秩，基：P81例4-96。其他：P52例3－84。方程组参数的取值范围：P87例5-15。过渡矩阵,坐标：P100例6-7计算在考试中占约40分！所以一定要自己会算！利用倍加行(列)变换可把方阵A化为上三角阵.先把第一列化为1,0,0

8、,……:先把化为1;再把其他化0如初等变换的顺序初等变换的顺序不同,结果不同.两