三元中立型时滞神经网络的稳定性分析

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1、第28卷第3期黑龙江大学自然科学学报Vol.28No.32011年6月JOURNALOFNATURALSCIENCEOFHEILONGJIANGUNIVERSITYJune，2011三元中立型时滞神经网络的稳定性分析罗嗣卿，刘铭，徐晓峰(东北林业大学，哈尔滨150040)摘要:针对一类由三个神经元相互连接的非线性中立型时滞神经网络模型进行研究，以时滞为参数，通过对其线性化系统特征方程根的分布进行讨论，得到了系统的稳定性及分支存在的条件。关键词:神经网络;中立型;稳定性;Hopf分支中图分类号:O175．12

2、文献标志码:A文章编号:1001－7011(2011)03－0336－050引言20世纪90年代以来，由若干个神经元相互连接的环状Hopfield神经网络模型引起了学者的广泛研究。2004年，Yuan和Campbell在文献［1］中研究了一个环状的由相同的神经元时滞连接的神经网络系统。2006年，Campbell在文献［2］中提出了一个由三个神经元相互连接构成的带有两个不同时滞的对称系统。在文献［3］中，作者考虑了三个神经元彼此连接所形成的34种不同的神经网络模型，为后来国内外数学研究者［4］提供了关于三元

3、神经网络模型动力学研究的基础。2008年，Yuan和Li考虑了三个神经元单向、双向所有的连接情形的神经网络模型。由于系统过去的变化对现在状态的影响不容忽视，因此本文在上述模型中加入中立行为，并将时滞统一为τ，将模型修改如下:ìx1(t)=－x1(t)+αf(x1(t－τ))+a12βg(x2(t－τ))+a13βg(x3(t－τ))ï+α2x1(t－τ)+b12β2x2(t－τ)+b13β2x3(t－τ)ïïx2(t)=－x2(t)+a21βg(x1(t－τ))+αf(x2(t－τ))+a23βg

4、(x3(t－τ))í(1)ï+b21β2x1(t－τ)+α2x2(t－τ)+b13β2x3(t－τ)ïx3(t)=－x3(t)+a31βg(x1(t－τ))+a32βg(x2(t－τ))+αf(x3(t－τ))ïî+b31β2x1(t－τ)+b32β2x2(t－τ)+α2x3(t－τ)，这里，aij，bij(i≠j，i，j=1，2，3)可以取值为1或0，取决于从第j个神经元到第i个神经元之间是否有连接;α，β，α2，β2∈R表示三个神经元自连接或相邻连接的连接强度;τ≥0为时滞;另外，假设f，

5、g足够光滑并满足下列条件(H1)f(0)=g(0)=0，(H2)f'(0)=g'(0)=1。下面以时滞τ为参数研究系统的稳定性及Hopf分支。1稳定性与Hopf分支以a13=a23=a31=a32=1，a12=a21=0，b13=b23=b31=b32=1，b12=b21=0为例，则系统(1)化为ìx1(t)=－x1(t)+αf(x1(t－τ))+βg(x3(t－τ))+α2x1(t－τ)+β2x3(t－τ)ïïx2(t)=－x2(t)+αf(x2(t－τ))+βg(x3(t－τ))+α2x2(t

6、－τ)+β2x3(t－τ)í(2)ïx3(t)=－x3(t)+βg(x1(t－τ))+βg(x2(t－τ))+αf(x3(t－τ))+β2x1(t－τ)ïî+β2x2(t－τ)+α2x3(t－τ)，收稿日期:2010－12－26基金项目:黑龙江省自然科学基金资助项目(F200922);黑龙江省数学会十一五规划项目课题(081024002)作者简介:罗嗣卿(1964－)，男，副教授，主要研究方向:仿真计算通讯作者:刘铭(1980－)，女，讲师，博士，E-mail:liuming－girl@163．c

7、om第3期罗嗣卿等:三元中立型时滞神经网络的稳定性分析·337·易知，在假设(H1)和(H2)成立的条件下，零点是系统(2)的平衡点，而系统(2)在零点处的线性化系统为··X(t)=AX(t)+BX(t－τ)+CX(t－τ)，(3)æ－100öæα0βöæα20β2ö其中A=ç0－10÷，B=ç0αβ÷，C=ç0αβ÷，22ç÷ç÷çç÷÷è00－1øèββαøèβ2β2α2ø相应的特征方程为－λτ3－λτ2－2λτ［λ+1－(α+α2λ)e］－2(λ+1－(α+α2λ)e)(β+β2λ)e=0，(4)分别

8、考虑下列三个方程－λτΔ1(λ)=λ+1－(α+α2λ)e=0，(5)－λτΔ2(λ)=λ+1－(α－槡2β+(α2－槡2β2)λ)e=0，(6)－λτΔ3(λ)=λ+1－(α+槡2β+(α2+槡2β2)λ)e=0。(7)下面主要以方程(5)为例进行研究，利用文献［5］中的方法计算，可以得出方程(5)特征根的分布满足下面引理。引理1设

9、α2

10、＜1，则有1．对τ≥0，方程(5)所有根都具有严格负实部的充要条件是－