几种矩阵逆的连续性

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1、2009年9月纯粹数学与应用数学Sep．2009第25卷第3期PureandAppliedMathematics、r01．25NO．3几种矩阵逆的连续性吴池业，黄廷祝(电子科技大学应用数学学院，四川成都610054)摘要：非奇异矩阵的逆是矩阵元素的连续函数．学者们也对矩阵广义逆的连续性有所研究．本文应用矩阵分裂和两个矩阵之和的逆的展开式，给出了一般非奇异矩阵，M一矩阵和一矩阵的逆的连续性．当一些合理的条件满足时，这几种矩阵的逆是连续的．关键词：连续性；矩阵it；M一矩阵；H一矩阵；广义逆中图分类号：O241．6文献标识码：A文章编号：1008—5513(2009)03—0481—051

2、引言对大多数的数值分析者来说，矩阵逆是不合常理的．不但是因为矩阵逆的工作量接近于一般矩阵乘法工作量的三倍，而且不稳定【1】．另外，很少矩阵逆是连续的．当是非奇异方阵时，Moore-Penrose广义逆等同于的一般矩阵逆一．众所周知[2]I对于使得Ij川=1任意矩阵范数l，如果lll1ItEII<1，则且4_±-1『Ir1兰一三(A)fI／fI((一)=l”JA一l”IJfJA～一IfJ)()Ben-Israel[a]给出了对于满足+『IIIE．II<1(2)和nli巴=0(3)．--+oo的序列，使得lim(A+)+=A+(4)n～—+o．。．的充分条件是对于充分大的n，的行和列位于的

3、行空间和列空间．广义逆连续性的充要条件是Steart【】给出的．他给出了在(2)和(3)的条件下(4)成立的充要条件是对于充分大的n都有rank(A+)：rank(A)．Campbel1和Meyer【5】也提供TM—P~Drazin广义逆的连续性性质．首先，我们提供两个本文所需的定义A：8，一P收稿日期：2007．04—02．基金项目：国家自然科学基金(10771030)，教育部科学技术研究重点项目(107098)，四JI】省应用基础研究项目(2008JY0052)高等学校博士点专项科研基~,(20070614001)，电子科技大学“中青年学术带头人+创新团队”项目．作者简介：吴池业(

4、1978-)，博士生，研究方向：数值算法的稳定性和精确性．482纯粹数学与应用数学第25卷其中P是非负的，JD(P)是P的谱半径且当s>p(P)时，A称为M一矩阵M一矩阵有两个主要特征：(i)aii>0，i：1，2，⋯，佗，且aij≤0，i≠j(u~N-：Pz={(aij)∈R”：aii>0，aij0，i≠J；t，J=1，2，⋯，n))fii)是稳定的．n阶矩阵称为一矩阵，如果的比较矩阵()=(aij)~2．M一矩阵，其中“=Iaiil~．aij=一]aijI(i≠)．M一矩阵和日．矩阵在数值分析，数学物理，控制论和经济学中有非常重要的应用[6-s】．本文给出了关于一般非奇异矩阵，M一

5、矩阵和日一矩阵逆的连续性的一些结论．明显地，本文的条件比文【91中的条件简单．全文中，对A=(aij)矩阵lI被定义成IA}=(1aq1)．2一般非奇异矩阵逆的连续性引理1设，B∈c”，-~q'B=A+E~IIA+IIfi『I<1·则+=+的充要条件是rank(A+E)=rank(A)定理1iRA是非奇异的且B=A+E，其中llA_1IliIElI<1·则B=A．1的充要条件是rank(A+E)=rank(A)=佗证明必要性是明显的，此略．充分性的证明如下．由(1)式和题设，有(+E)一一一Il1IIII一lllAlI一即(+E)一l—A-1tlIIEIIIIa一『l。(1+ffE『I

6、IIa一If+0(『IEfI。IIA一II。))由于B充分靠近于，即E充分靠：~-Yo，(5)式等价于l二)(E)．故命题得证．3矩阵逆的连续性本节我们给出当满足一些特殊条件时，M一矩阵逆的连续性．定理2若给一矩阵一个扰动△，f△II}，是充分小的正数H．A+△非奇．则lim(A+△)_。=A一△A—-0、证明如果l4+△非奇，则(+AA)一=A一一A一AAA一+D(E)第3期吴池业等：几种矩阵逆的连续性故I(+AA)一一A一JJA-1]IAAllA～I+0(E)(6)由于是一矩阵，所以一0．即J一j：A-‘．因此，(6)式可表为f(+AA)一一A一fA一Iz~A[A一4-(=}(E。

7、)由题设I△AIEII，有l(+AA)一一A一IeA一IAIA一+0(￡。)设=D—C，其中D=diag(A)J~C：D—A0．则A一=(一D一c)一D一=(+D一c+(D一c)2+⋯)D一1fAf=D(I+D一C)即(+△)～一A一fe(I+D一C+(D一)。+⋯)D一D(I+D一)(，+D～+(D一)。+⋯)D～+0。)(+D一)。D一+O(e(D一))+D(￡。)e(D一IAI)。D一+D()故命题得证．则．引+△A是9MJ，篓A+△A∈